MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funtp Structured version   Unicode version

Theorem funtp 5495
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
funtp.1  |-  A  e. 
_V
funtp.2  |-  B  e. 
_V
funtp.3  |-  C  e. 
_V
funtp.4  |-  D  e. 
_V
funtp.5  |-  E  e. 
_V
funtp.6  |-  F  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
funtp  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } )

Proof of Theorem funtp
StepHypRef Expression
1 funtp.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
2 funtp.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 funtp.4 . . . . . 6  |-  D  e. 
_V
4 funtp.5 . . . . . 6  |-  E  e. 
_V
51, 2, 3, 4funpr 5494 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  Fun  {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. } )
6 funtp.3 . . . . . 6  |-  C  e. 
_V
7 funtp.6 . . . . . 6  |-  F  e. 
_V
86, 7funsn 5491 . . . . 5  |-  Fun  { <. C ,  F >. }
95, 8jctir 525 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( Fun  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  /\  Fun  { <. C ,  F >. } ) )
103, 4dmprop 5337 . . . . . . 7  |-  dom  { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. }  =  { A ,  B }
11 df-pr 3813 . . . . . . 7  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1210, 11eqtri 2455 . . . . . 6  |-  dom  { <. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. }  =  ( { A }  u.  { B } )
137dmsnop 5336 . . . . . 6  |-  dom  { <. C ,  F >. }  =  { C }
1412, 13ineq12i 3532 . . . . 5  |-  ( dom 
{ <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  i^i  dom  { <. C ,  F >. } )  =  ( ( { A }  u.  { B } )  i^i 
{ C } )
15 disjsn2 3861 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  C  ->  ( { A }  i^i  { C } )  =  (/) )
16 disjsn2 3861 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  C  ->  ( { B }  i^i  { C } )  =  (/) )
1715, 16anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( ( { A }  i^i  { C }
)  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  { C } )  =  (/) ) )
18 undisj1 3671 . . . . . 6  |-  ( ( ( { A }  i^i  { C } )  =  (/)  /\  ( { B }  i^i  { C } )  =  (/) ) 
<->  ( ( { A }  u.  { B } )  i^i  { C } )  =  (/) )
1917, 18sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( ( { A }  u.  { B } )  i^i  { C } )  =  (/) )
2014, 19syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  -> 
( dom  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  i^i  dom  {
<. C ,  F >. } )  =  (/) )
21 funun 5487 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  /\  Fun  { <. C ,  F >. } )  /\  ( dom  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  i^i  dom  { <. C ,  F >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) )
229, 20, 21syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  =/=  B  /\  ( A  =/=  C  /\  B  =/=  C
) )  ->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) )
23223impb 1149 . 2  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) )
24 df-tp 3814 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
2524funeqi 5466 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  <->  Fun  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) )
2623, 25sylibr 204 1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C  /\  B  =/=  C )  ->  Fun  {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    u. cun 3310    i^i cin 3311   (/)c0 3620   {csn 3806   {cpr 3807   {ctp 3808   <.cop 3809   dom cdm 4870   Fun wfun 5440
This theorem is referenced by:  fntp  5499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-fun 5448
  Copyright terms: Public domain W3C validator