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Theorem fununi 5517
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of functions is a function. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fununi  |-  ( A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  Fun  U. A )
Distinct variable group:    f, g, A

Proof of Theorem fununi
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funrel 5471 . . . . 5  |-  ( Fun  f  ->  Rel  f )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  Rel  f )
32ralimi 2781 . . 3  |-  ( A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  A. f  e.  A  Rel  f )
4 reluni 4997 . . 3  |-  ( Rel  U. A  <->  A. f  e.  A  Rel  f )
53, 4sylibr 204 . 2  |-  ( A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  Rel  U. A )
6 r19.28av 2845 . . . 4  |-  ( ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) ) )
76ralimi 2781 . . 3  |-  ( A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) ) )
8 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
C_  v  ->  ( <. x ,  y >.  e.  w  ->  <. x ,  y >.  e.  v ) )
98anim1d 548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
C_  v  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  v  /\  <. x ,  z
>.  e.  v ) ) )
10 dffun4 5466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  v  <->  ( Rel  v  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  v  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
1110simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  v  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  v  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) )
121119.21bbi 1888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  v  ->  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  v  /\  <. x ,  z
>.  e.  v )  -> 
y  =  z ) )
131219.21bi 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  v  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  v  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) )
149, 13syl9r 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  v  ->  ( w  C_  v  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
1514adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  w  /\  Fun  v )  ->  (
w  C_  v  ->  ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
16 ssel 3342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
C_  w  ->  ( <. x ,  z >.  e.  v  ->  <. x ,  z >.  e.  w
) )
1716anim2d 549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v 
C_  w  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  w ) ) )
18 dffun4 5466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  w  <->  ( Rel  w  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  w
)  ->  y  =  z ) ) )
1918simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  w  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  w
)  ->  y  =  z ) )
201919.21bbi 1888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun  w  ->  A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  w )  -> 
y  =  z ) )
212019.21bi 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  w  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  w
)  ->  y  =  z ) )
2217, 21syl9r 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  w  ->  ( v  C_  w  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  w  /\  Fun  v )  ->  (
v  C_  w  ->  ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
2415, 23jaod 370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  w  /\  Fun  v )  ->  (
( w  C_  v  \/  v  C_  w )  ->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
2524imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  w  /\  Fun  v )  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  ->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) )
2625ralimi 2781 . . . . . . 7  |-  ( A. v  e.  A  (
( Fun  w  /\  Fun  v )  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  ->  A. v  e.  A  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  v )  -> 
y  =  z ) )
2726ralimi 2781 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
( Fun  w  /\  Fun  v )  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  ->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  v )  -> 
y  =  z ) )
28 funeq 5473 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  w  ->  ( Fun  f  <->  Fun  w ) )
29 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  w  ->  (
f  C_  g  <->  w  C_  g
) )
30 sseq2 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  w  ->  (
g  C_  f  <->  g  C_  w ) )
3129, 30orbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  w  ->  (
( f  C_  g  \/  g  C_  f )  <-> 
( w  C_  g  \/  g  C_  w ) ) )
3228, 31anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  w  ->  (
( Fun  f  /\  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  ( Fun  w  /\  ( w  C_  g  \/  g  C_  w ) ) ) )
33 sseq2 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  v  ->  (
w  C_  g  <->  w  C_  v
) )
34 sseq1 3369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  v  ->  (
g  C_  w  <->  v  C_  w ) )
3533, 34orbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  v  ->  (
( w  C_  g  \/  g  C_  w )  <-> 
( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )
3635anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  v  ->  (
( Fun  w  /\  ( w  C_  g  \/  g  C_  w )
)  <->  ( Fun  w  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) ) )
3732, 36cbvral2v 2940 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  w  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )
38 ralcom 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  A. g  e.  A  A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) ) )
39 orcom 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  C_  g  \/  g  C_  f )  <->  ( g  C_  f  \/  f  C_  g ) )
40 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  w  ->  (
g  C_  f  <->  w  C_  f
) )
41 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  w  ->  (
f  C_  g  <->  f  C_  w ) )
4240, 41orbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  w  ->  (
( g  C_  f  \/  f  C_  g )  <-> 
( w  C_  f  \/  f  C_  w ) ) )
4339, 42syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  w  ->  (
( f  C_  g  \/  g  C_  f )  <-> 
( w  C_  f  \/  f  C_  w ) ) )
4443anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  w  ->  (
( Fun  f  /\  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  ( Fun  f  /\  ( w  C_  f  \/  f  C_  w ) ) ) )
45 funeq 5473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  v  ->  ( Fun  f  <->  Fun  v ) )
46 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  v  ->  (
w  C_  f  <->  w  C_  v
) )
47 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  v  ->  (
f  C_  w  <->  v  C_  w ) )
4846, 47orbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  v  ->  (
( w  C_  f  \/  f  C_  w )  <-> 
( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )
4945, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  v  ->  (
( Fun  f  /\  ( w  C_  f  \/  f  C_  w )
)  <->  ( Fun  v  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) ) )
5044, 49cbvral2v 2940 . . . . . . . . 9  |-  ( A. g  e.  A  A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  v  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )
5138, 50bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  v  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )
5237, 51anbi12i 679 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) ) )  <->  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  w  /\  ( w 
C_  v  \/  v  C_  w ) )  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  v  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) ) )
53 anidm 626 . . . . . . 7  |-  ( ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) ) )  <->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) ) )
54 anandir 803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  w  /\  Fun  v )  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  <-> 
( ( Fun  w  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  /\  ( Fun  v  /\  ( w 
C_  v  \/  v  C_  w ) ) ) )
55542ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
( Fun  w  /\  Fun  v )  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( Fun  w  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  /\  ( Fun  v  /\  ( w 
C_  v  \/  v  C_  w ) ) ) )
56 r19.26-2 2839 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
( Fun  w  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w )
)  /\  ( Fun  v  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )  <-> 
( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  w  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  v  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) ) )
5755, 56bitr2i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  w  /\  (
w  C_  v  \/  v  C_  w ) )  /\  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( Fun  v  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( Fun  w  /\  Fun  v
)  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w ) ) )
5852, 53, 573bitr3i 267 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( Fun  w  /\  Fun  v )  /\  ( w  C_  v  \/  v  C_  w )
) )
59 eluni 4018 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  <->  E. w
( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  w  e.  A ) )
60 eluni 4018 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  <->  E. v
( <. x ,  z
>.  e.  v  /\  v  e.  A ) )
6159, 60anbi12i 679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  <->  ( E. w ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  w  e.  A
)  /\  E. v
( <. x ,  z
>.  e.  v  /\  v  e.  A ) ) )
62 eeanv 1937 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  w  e.  A )  /\  ( <. x ,  z >.  e.  v  /\  v  e.  A ) )  <->  ( E. w ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  w  e.  A
)  /\  E. v
( <. x ,  z
>.  e.  v  /\  v  e.  A ) ) )
63 an4 798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  w  e.  A )  /\  ( <. x ,  z >.  e.  v  /\  v  e.  A ) )  <->  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A ) ) )
64 ancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  /\  ( w  e.  A  /\  v  e.  A ) )  <->  ( (
w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) ) )
6563, 64bitri 241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  w  e.  A )  /\  ( <. x ,  z >.  e.  v  /\  v  e.  A ) )  <->  ( (
w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) ) )
66652exbii 1593 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w E. v ( ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  w  e.  A )  /\  ( <. x ,  z >.  e.  v  /\  v  e.  A ) )  <->  E. w E. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) ) )
6761, 62, 663bitr2i 265 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. w E. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) ) )
6867imbi1i 316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  U. A  /\  <.
x ,  z >.  e.  U. A )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. w E. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z ) )
69 19.23v 1914 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( E. v
( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z )  <->  ( E. w E. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z ) )
70 r2al 2742 . . . . . . . 8  |-  ( A. w  e.  A  A. v  e.  A  (
( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z )  <->  A. w A. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
71 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z )  <->  ( (
w  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  v )  -> 
y  =  z ) ) )
72712albii 1576 . . . . . . . 8  |-  ( A. w A. v ( ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  v ) )  ->  y  =  z )  <->  A. w A. v
( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  ->  (
( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) ) )
73 19.23v 1914 . . . . . . . . 9  |-  ( A. v ( ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y
>.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z )  <->  ( E. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z ) )
7473albii 1575 . . . . . . . 8  |-  ( A. w A. v ( ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A
)  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  v ) )  ->  y  =  z )  <->  A. w ( E. v ( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z ) )
7570, 72, 743bitr2ri 266 . . . . . . 7  |-  ( A. w ( E. v
( ( w  e.  A  /\  v  e.  A )  /\  ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v ) )  ->  y  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z >.  e.  v )  ->  y  =  z ) )
7668, 69, 753bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  U. A  /\  <.
x ,  z >.  e.  U. A )  -> 
y  =  z )  <->  A. w  e.  A  A. v  e.  A  ( ( <. x ,  y >.  e.  w  /\  <. x ,  z
>.  e.  v )  -> 
y  =  z ) )
7727, 58, 763imtr4i 258 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
7877alrimiv 1641 . . . 4  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
7978alrimivv 1642 . . 3  |-  ( A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( Fun  f  /\  (
f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
807, 79syl 16 . 2  |-  ( A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
81 dffun4 5466 . 2  |-  ( Fun  U. A  <->  ( Rel  U. A  /\  A. x A. y A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) ) )
825, 80, 81sylanbrc 646 1  |-  ( A. f  e.  A  ( Fun  f  /\  A. g  e.  A  ( f  C_  g  \/  g  C_  f ) )  ->  Fun  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    e. wcel 1725   A.wral 2705    C_ wss 3320   <.cop 3817   U.cuni 4015   Rel wrel 4883   Fun wfun 5448
This theorem is referenced by:  funcnvuni  5518  fun11uni  5519  axdc3lem2  8331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-fun 5456
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