MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fv01 Structured version   Unicode version

Theorem fv01 5755
Description: Function value of the empty set. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fv01  |-  ( (/) `  A )  =  (/)

Proof of Theorem fv01
StepHypRef Expression
1 noel 3624 . . 3  |-  -.  A  e.  (/)
2 dm0 5075 . . . 4  |-  dom  (/)  =  (/)
32eleq2i 2499 . . 3  |-  ( A  e.  dom  (/)  <->  A  e.  (/) )
41, 3mtbir 291 . 2  |-  -.  A  e.  dom  (/)
5 ndmfv 5747 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  (/)  ->  ( (/) `  A )  =  (/) )
64, 5ax-mp 8 1  |-  ( (/) `  A )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   dom cdm 4870   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  bropopvvv  6418  itunisuc  8289  itunitc1  8290  str0  13495  ressbas  13509  homarcl  14173  cntrval  15108  cntzval  15110  cntzrcl  15116  oppglsm  15266  sralem  16239  srasca  16243  sravsca  16244  rlmval  16254  opsrle  16526  opsrbaslem  16528  psr1val  16574  vr1val  16580  chrval  16796  ocvval  16884  elocv  16885  iscnp2  17293  mpfrcl  19929  evlval  19935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330  ax-pow 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator