MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvco3 Structured version   Unicode version

Theorem fvco3 5803
Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
fvco3  |-  ( ( G : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )

Proof of Theorem fvco3
StepHypRef Expression
1 ffn 5594 . 2  |-  ( G : A --> B  ->  G  Fn  A )
2 fvco2 5801 . 2  |-  ( ( G  Fn  A  /\  C  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
31, 2sylan 459 1  |-  ( ( G : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( ( F  o.  G ) `  C
)  =  ( F `
 ( G `  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    o. ccom 4885    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457
This theorem is referenced by:  foco2  5892  f1ocnvfv1  6017  f1ocnvfv2  6018  fcof1  6023  fcofo  6024  cocan1  6027  cocan2  6028  fveqf1o  6032  isotr  6059  algrflem  6458  fipreima  7415  unxpwdom2  7559  wemapwe  7657  ackbij2lem2  8125  cofsmo  8154  cfcoflem  8157  isf32lem6  8243  isf32lem7  8244  isf32lem8  8245  isf34lem7  8264  isf34lem6  8265  axcc3  8323  axdc4lem  8340  canthp1lem2  8533  inar1  8655  axdc4uzlem  11326  seqf1olem2  11368  seqf1o  11369  lo1o1  12331  o1co  12385  caucvgrlem2  12473  summolem3  12513  fsumf1o  12522  fsumcl2lem  12530  fsumadd  12537  fsummulc2  12572  fsumrelem  12591  supcvg  12640  ruclem11  12844  ruclem12  12845  algcvg  13072  eulerthlem2  13176  cofu1  14086  cofu2  14088  cofucl  14090  fucidcl  14167  fuclid  14168  fucrid  14169  homadm  14200  homacd  14201  evlfcl  14324  curfuncf  14340  yonedalem4c  14379  yonedalem3b  14381  yonedainv  14383  mhmco  14767  prdspjmhm  14771  pwsco1mhm  14774  lactghmga  15112  frgpup3lem  15414  gsumval3eu  15518  gsumval3  15519  gsumzaddlem  15531  gsumzmhm  15538  gsumzinv  15545  gsumsub  15547  dprdf1o  15595  mplsubglem  16503  gsumfsum  16771  frgpcyg  16859  cnpco  17336  lmcnp  17373  upxp  17660  uptx  17662  cnmpt11  17700  cnmpt21  17708  xkofvcn  17721  prdstmdd  18158  prdstgpd  18159  comet  18548  prdsxmslem2  18564  nrmmetd  18627  isngp3  18650  ngpds  18655  tngnm  18697  nmoco  18776  cnmetdval  18810  climcncf  18935  cncfco  18942  htpyco1  19008  htpyco2  19009  phtpyco2  19020  reparphti  19027  copco  19048  pi1cof  19089  pi1coghm  19091  caubl  19265  caublcls  19266  cniccbdd  19363  ovolfioo  19369  ovolficc  19370  ovolfsval  19372  ovolicc2lem1  19418  ovolicc2lem4  19421  ovolicc2lem5  19422  volsup  19455  uniiccdif  19475  uniioovol  19476  uniiccvol  19477  uniioombllem2  19480  uniioombllem3a  19481  uniioombllem4  19483  uniioombllem5  19484  mbfimaopnlem  19550  limccnp  19783  dvcobr  19837  dvcjbr  19840  dvfre  19842  evlssca  19948  evl1val  19953  plycjlem  20199  plycj  20200  coecj  20201  radcnvlem2  20335  radcnvlem3  20336  radcnvlt2  20340  pserulm  20343  resinf1o  20443  jensen  20832  ftalem3  20862  dchrinv  21050  dchr2sum  21062  dchrisum0re  21212  ex-co  21751  vafval  22087  smfval  22089  vsfval  22119  imsdval  22183  lnocoi  22263  occllem  22810  hocoi  23272  homco1  23309  counop  23429  homco2  23485  hmopco  23531  nlelchi  23569  kbass2  23625  kbass5  23628  leopsq  23637  hmopidmchi  23659  elpjrn  23698  pjinvari  23699  eflgam  24834  derangenlem  24862  subfacp1lem5  24875  cnpcon  24922  txsconlem  24932  txscon  24933  cvmliftmolem1  24973  cvmliftlem7  24983  cvmlift2lem3  24997  cvmlift2lem7  25001  cvmlift2lem9  25003  cvmliftphtlem  25009  cvmlift3lem1  25011  cvmlift3lem2  25012  cvmlift3lem4  25014  cvmlift3lem5  25015  cvmlift3lem6  25016  cvmlift3lem7  25017  sinccvglem  25114  prodmolem3  25264  fprodf1o  25277  fprodser  25280  fprodcl2lem  25281  fprodmul  25289  fproddiv  25290  fprodn0  25308  iprodefisumlem  25322  iprodefisum  25323  mblfinlem2  26256  ftc1anclem5  26298  ftc1anclem8  26301  cocanfo  26433  f1ocan1fv  26442  upixp  26445  ghomco  26572  rngohomco  26604  climexp  27721  stoweidlem27  27766  stoweidlem31  27770  lautco  30968  ldilco  30987  ltrncoval  31016  tendocoval  31637  tendoconid  31700  tendospass  31891  dicvscacl  32063  cdlemn3  32069  cdlemn9  32077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465
  Copyright terms: Public domain W3C validator