MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Unicode version

Theorem fvcoe1 16532
Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
fvcoe1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( A `
 ( X `  (/) ) ) )

Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 6672 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10159 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4280 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
41, 2, 3mapsnconst 6995 . . . 4  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
65fveq2d 5672 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( F `
 ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) ) )
7 elmapi 6974 . . . 4  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
8 0lt1o 6684 . . . 4  |-  (/)  e.  1o
9 ffvelrn 5807 . . . 4  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
11 coe1fval.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  F )
1211coe1fv 16531 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  ( X `  (/) )  e. 
NN0 )  ->  ( A `  ( X `  (/) ) )  =  ( F `  ( 1o  X.  { ( X `
 (/) ) } ) ) )
1310, 12sylan2 461 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( A `  ( X `  (/) ) )  =  ( F `  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) ) )
146, 13eqtr4d 2422 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( A `
 ( X `  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3571   {csn 3757    X. cxp 4816   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   1oc1o 6653    ^m cmap 6954   NN0cn0 10153  coe1cco1 16501
This theorem is referenced by:  coe1mul2  16589  ply1coe  16611  deg1ldg  19882  deg1leb  19885
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-map 6956  df-nn 9933  df-n0 10154  df-coe1 16508
  Copyright terms: Public domain W3C validator