MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Structured version   Unicode version

Theorem fvcoe1 16597
Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
fvcoe1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( A `
 ( X `  (/) ) ) )

Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 6728 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
2 nn0ex 10219 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
3 0ex 4331 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
41, 2, 3mapsnconst 7051 . . . 4  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X  =  ( 1o  X.  {
( X `  (/) ) } ) )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  X  =  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) )
65fveq2d 5724 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( F `
 ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) ) )
7 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  X : 1o
--> NN0 )
8 0lt1o 6740 . . . 4  |-  (/)  e.  1o
9 ffvelrn 5860 . . . 4  |-  ( ( X : 1o --> NN0  /\  (/) 
e.  1o )  -> 
( X `  (/) )  e. 
NN0 )
107, 8, 9sylancl 644 . . 3  |-  ( X  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( X `
 (/) )  e.  NN0 )
11 coe1fval.a . . . 4  |-  A  =  (coe1 `  F )
1211coe1fv 16596 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  ( X `  (/) )  e. 
NN0 )  ->  ( A `  ( X `  (/) ) )  =  ( F `  ( 1o  X.  { ( X `
 (/) ) } ) ) )
1310, 12sylan2 461 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( A `  ( X `  (/) ) )  =  ( F `  ( 1o  X.  { ( X `  (/) ) } ) ) )
146, 13eqtr4d 2470 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  X
)  =  ( A `
 ( X `  (/) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   {csn 3806    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1oc1o 6709    ^m cmap 7010   NN0cn0 10213  coe1cco1 16566
This theorem is referenced by:  coe1mul2  16654  ply1coe  16676  deg1ldg  20007  deg1leb  20010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-map 7012  df-nn 9993  df-n0 10214  df-coe1 16573
  Copyright terms: Public domain W3C validator