MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvelrnb Unicode version

Theorem fvelrnb 5570
Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
fvelrnb  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fvelrnb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnrnfv 5569 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } )
21eleq2d 2350 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) } ) )
3 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbii 202 . . . 4  |-  ( ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
65rexlimivw 2663 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B  ->  B  e.  _V )
7 eqeq1 2289 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  B  =  ( F `  x ) ) )
8 eqcom 2285 . . . . 5  |-  ( B  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  B )
97, 8syl6bb 252 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
y  =  ( F `
 x )  <->  ( F `  x )  =  B ) )
109rexbidv 2564 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. x  e.  A  y  =  ( F `  x )  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
116, 10elab3 2921 . 2  |-  ( B  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  ( F `  x ) }  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B )
122, 11syl6bb 252 1  |-  ( F  Fn  A  ->  ( B  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  chfnrn  5636  rexrn  5667  ralrn  5668  ffnfv  5685  fconstfv  5734  elunirnALT  5779  isoini  5835  reldm  6171  canth  6294  seqomlem2  6463  fipreima  7161  ordiso2  7230  inf0  7322  inf3lem6  7334  noinfep  7360  noinfepOLD  7361  cantnflem4  7394  infenaleph  7718  isinfcard  7719  dfac5  7755  ackbij1  7864  sornom  7903  fin23lem16  7961  fin23lem21  7965  isf32lem2  7980  fin1a2lem5  8030  itunitc  8047  axdc3lem2  8077  zorn2lem4  8126  cfpwsdom  8206  peano2nn  9758  uzn0  10243  om2uzrani  11015  uzrdgfni  11021  uzin2  11828  unbenlem  12955  vdwlem6  13033  0ram  13067  imasmnd2  14409  imasgrp2  14610  pgpssslw  14925  efgsfo  15048  efgrelexlemb  15059  gexex  15145  imasrng  15402  2ndcomap  17184  kgenidm  17242  kqreglem1  17432  zfbas  17591  rnelfmlem  17647  rnelfm  17648  fmfnfmlem2  17650  ovolctb  18849  ovolicc2  18881  mbfinf  19020  dvivth  19357  dvne0  19358  mpfind  19428  mpfpf1  19434  pf1mpf  19435  aannenlem3  19710  reeff1o  19823  rnbra  22687  cnvbraval  22690  pjssdif1i  22755  dfpjop  22762  elpjrn  22770  ghomgrpilem2  23993  bwt2  25592  tailfb  26326  indexdom  26413  nacsfix  26787  lindfrn  27291  pmtrfrn  27400  fvelrnbf  27689  cncmpmax  27703  stoweidlem27  27776  stoweidlem31  27780  stoweidlem48  27797  stoweidlem59  27808  stirlinglem13  27835  usgraedgrn  28125  cdleme50rnlem  30733  diaelrnN  31235  diaintclN  31248  cdlemm10N  31308  dibintclN  31357  dihglb2  31532  dihintcl  31534  lcfrlem9  31740  mapd1o  31838  hdmaprnlem11N  32053  hgmaprnlem4N  32092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator