Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fveqf1o Structured version   Unicode version

Theorem fveqf1o 6029
 Description: Given a bijection , produce another bijection which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1
Assertion
Ref Expression
fveqf1o

Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . 4
2 f1oi 5713 . . . . . . . 8
32a1i 11 . . . . . . 7
4 simp2 958 . . . . . . . 8
5 f1ocnv 5687 . . . . . . . . . 10
6 f1of 5674 . . . . . . . . . 10
71, 5, 63syl 19 . . . . . . . . 9
8 simp3 959 . . . . . . . . 9
97, 8ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8
10 f1oprswap 5717 . . . . . . . 8
114, 9, 10syl2anc 643 . . . . . . 7
12 incom 3533 . . . . . . . . 9
13 disjdif 3700 . . . . . . . . 9
1412, 13eqtri 2456 . . . . . . . 8
1514a1i 11 . . . . . . 7
16 f1oun 5694 . . . . . . 7
173, 11, 15, 15, 16syl22anc 1185 . . . . . 6
18 uncom 3491 . . . . . . . 8
19 prssi 3954 . . . . . . . . . 10
204, 9, 19syl2anc 643 . . . . . . . . 9
21 undif 3708 . . . . . . . . 9
2220, 21sylib 189 . . . . . . . 8
2318, 22syl5eq 2480 . . . . . . 7
24 f1oeq2 5666 . . . . . . 7
2523, 24syl 16 . . . . . 6
2617, 25mpbid 202 . . . . 5
27 f1oeq3 5667 . . . . . 6
2823, 27syl 16 . . . . 5
2926, 28mpbid 202 . . . 4
30 f1oco 5698 . . . 4
311, 29, 30syl2anc 643 . . 3
32 fveqf1o.1 . . . 4
33 f1oeq1 5665 . . . 4
3432, 33ax-mp 8 . . 3
3531, 34sylibr 204 . 2
3632fveq1i 5729 . . . 4
37 f1of 5674 . . . . . 6
3829, 37syl 16 . . . . 5
39 fvco3 5800 . . . . 5
4038, 4, 39syl2anc 643 . . . 4
4136, 40syl5eq 2480 . . 3
42 fnresi 5562 . . . . . . . 8
4342a1i 11 . . . . . . 7
44 f1ofn 5675 . . . . . . . 8
4511, 44syl 16 . . . . . . 7
46 prid1g 3910 . . . . . . . 8
474, 46syl 16 . . . . . . 7
48 fvun2 5795 . . . . . . 7
4943, 45, 15, 47, 48syl112anc 1188 . . . . . 6
50 f1ofun 5676 . . . . . . . 8
5111, 50syl 16 . . . . . . 7
52 opex 4427 . . . . . . . 8
5352prid1 3912 . . . . . . 7
54 funopfv 5766 . . . . . . 7
5551, 53, 54ee10 1385 . . . . . 6
5649, 55eqtrd 2468 . . . . 5
5756fveq2d 5732 . . . 4
58 f1ocnvfv2 6015 . . . . 5
591, 8, 58syl2anc 643 . . . 4
6057, 59eqtrd 2468 . . 3
6141, 60eqtrd 2468 . 2
6235, 61jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cdif 3317   cun 3318   cin 3319   wss 3320  c0 3628  cpr 3815  cop 3817   cid 4493  ccnv 4877   cres 4880   ccom 4882   wfun 5448   wfn 5449  wf 5450  wf1o 5453  cfv 5454 This theorem is referenced by:  infxpenc2  7903 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462
 Copyright terms: Public domain W3C validator