Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fveqf1o Unicode version

Theorem fveqf1o 5806
 Description: Given a bijection , produce another bijection which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1
Assertion
Ref Expression
fveqf1o

Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4
2 f1oi 5511 . . . . . . . 8
32a1i 10 . . . . . . 7
4 simp2 956 . . . . . . . 8
5 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . 10
6 f1of 5472 . . . . . . . . . 10
71, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9
8 simp3 957 . . . . . . . . 9
9 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . 8
11 f1oprswap 5515 . . . . . . . 8
124, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7
13 incom 3361 . . . . . . . . 9
14 disjdif 3526 . . . . . . . . 9
1513, 14eqtri 2303 . . . . . . . 8
1615a1i 10 . . . . . . 7
17 f1oun 5492 . . . . . . 7
183, 12, 16, 16, 17syl22anc 1183 . . . . . 6
19 uncom 3319 . . . . . . . 8
20 prssi 3771 . . . . . . . . . 10
214, 10, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9
22 undif 3534 . . . . . . . . 9
2321, 22sylib 188 . . . . . . . 8
2419, 23syl5eq 2327 . . . . . . 7
25 f1oeq2 5464 . . . . . . 7
2624, 25syl 15 . . . . . 6
2718, 26mpbid 201 . . . . 5
28 f1oeq3 5465 . . . . . 6
2924, 28syl 15 . . . . 5
3027, 29mpbid 201 . . . 4
31 f1oco 5496 . . . 4
321, 30, 31syl2anc 642 . . 3
33 fveqf1o.1 . . . 4
34 f1oeq1 5463 . . . 4
3533, 34ax-mp 8 . . 3
3632, 35sylibr 203 . 2
3733fveq1i 5526 . . . 4
38 f1of 5472 . . . . . 6
3930, 38syl 15 . . . . 5
40 fvco3 5596 . . . . 5
4139, 4, 40syl2anc 642 . . . 4
4237, 41syl5eq 2327 . . 3
43 fnresi 5361 . . . . . . . 8
4443a1i 10 . . . . . . 7
45 f1ofn 5473 . . . . . . . 8
4612, 45syl 15 . . . . . . 7
47 prid1g 3732 . . . . . . . 8
484, 47syl 15 . . . . . . 7
49 fvun2 5591 . . . . . . 7
5044, 46, 16, 48, 49syl112anc 1186 . . . . . 6
51 f1ofun 5474 . . . . . . . 8
5212, 51syl 15 . . . . . . 7
53 opex 4237 . . . . . . . 8
5453prid1 3734 . . . . . . 7
55 funopfv 5562 . . . . . . 7
5652, 54, 55ee10 1366 . . . . . 6
5750, 56eqtrd 2315 . . . . 5
5857fveq2d 5529 . . . 4
59 f1ocnvfv2 5793 . . . . 5
601, 8, 59syl2anc 642 . . . 4
6158, 60eqtrd 2315 . . 3
6242, 61eqtrd 2315 . 2
6336, 62jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   cdif 3149   cun 3150   cin 3151   wss 3152  c0 3455  cpr 3641  cop 3643   cid 4304  ccnv 4688   cres 4691   ccom 4693   wfun 5249   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255 This theorem is referenced by:  infxpenc2  7649 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263
 Copyright terms: Public domain W3C validator