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Theorem fveqf1o 5822
Description: Given a bijection  F, produce another bijection  G which additionally maps two specified points. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fveqf1o.1  |-  G  =  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )
Assertion
Ref Expression
fveqf1o  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  /\  ( G `  C
)  =  D ) )

Proof of Theorem fveqf1o
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
2 f1oi 5527 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) : ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )
32a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) ) : ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
4 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  A )
5 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
6 f1of 5488 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
71, 5, 63syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  `' F : B --> A )
8 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  D  e.  B )
9 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  D  e.  B )  ->  ( `' F `  D )  e.  A
)
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( `' F `  D )  e.  A
)
11 f1oprswap 5531 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( `' F `  D )  e.  A )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )
124, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )
13 incom 3374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  i^i  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
14 disjdif 3539 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  i^i  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  =  (/)
1513, 14eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  (/)
1615a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/) )
17 f1oun 5508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) ) : ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  /\  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) } )  /\  (
( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/)  /\  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/) ) )  ->  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
183, 12, 16, 16, 17syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
19 uncom 3332 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } )  =  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
20 prssi 3787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  A  /\  ( `' F `  D )  e.  A )  ->  { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A )
214, 10, 20syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A )
22 undif 3547 . . . . . . . . 9  |-  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  C_  A  <->  ( { C ,  ( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  =  A )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( { C , 
( `' F `  D ) }  u.  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  =  A )
2419, 23syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A )
25 f1oeq2 5480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) )
2624, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : ( ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  u.  { C , 
( `' F `  D ) } ) -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) ) )
2718, 26mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )
28 f1oeq3 5481 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  A  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
2924, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  u.  { C ,  ( `' F `  D ) } )  <->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A ) )
3027, 29mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A )
31 f1oco 5512 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A )  ->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
321, 30, 31syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
33 fveqf1o.1 . . . 4  |-  G  =  ( F  o.  (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )
34 f1oeq1 5479 . . . 4  |-  ( G  =  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B ) )
3533, 34ax-mp 8 . . 3  |-  ( G : A -1-1-onto-> B  <->  ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) : A -1-1-onto-> B )
3632, 35sylibr 203 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  G : A -1-1-onto-> B )
3733fveq1i 5542 . . . 4  |-  ( G `
 C )  =  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )
38 f1of 5488 . . . . . 6  |-  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A -1-1-onto-> A  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A )
3930, 38syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A )
40 fvco3 5612 . . . . 5  |-  ( ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) : A --> A  /\  C  e.  A )  ->  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )  =  ( F `  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
4139, 4, 40syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( F  o.  ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) ) `  C )  =  ( F `  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
4237, 41syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G `  C
)  =  ( F `
 ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) ) )
43 fnresi 5377 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )
4443a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } ) )
45 f1ofn 5489 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) }  ->  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) } )
4612, 45syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) } )
47 prid1g 3745 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  A  ->  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } )
484, 47syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } )
49 fvun2 5607 . . . . . . 7  |-  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  Fn  ( A 
\  { C , 
( `' F `  D ) } )  /\  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  Fn  { C ,  ( `' F `  D ) }  /\  ( ( ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } )  i^i  { C ,  ( `' F `  D ) } )  =  (/)  /\  C  e.  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  ->  ( (
(  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C ) )
5044, 46, 16, 48, 49syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C ) )
51 f1ofun 5490 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } : { C ,  ( `' F `  D ) } -1-1-onto-> { C ,  ( `' F `  D ) }  ->  Fun  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } )
5212, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  Fun  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } )
53 opex 4253 . . . . . . . 8  |-  <. C , 
( `' F `  D ) >.  e.  _V
5453prid1 3747 . . . . . . 7  |-  <. C , 
( `' F `  D ) >.  e.  { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }
55 funopfv 5578 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  ->  (
<. C ,  ( `' F `  D )
>.  e.  { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. }  ->  ( { <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C )  =  ( `' F `  D ) ) )
5652, 54, 55ee10 1366 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( { <. C , 
( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } `  C )  =  ( `' F `  D ) )
5750, 56eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( ( (  _I  |`  ( A  \  { C ,  ( `' F `  D ) } ) )  u. 
{ <. C ,  ( `' F `  D )
>. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C )  =  ( `' F `  D ) )
5857fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  (
( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) )  =  ( F `  ( `' F `  D ) ) )
59 f1ocnvfv2 5809 . . . . 5  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  D ) )  =  D )
601, 8, 59syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  D ) )  =  D )
6158, 60eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( F `  (
( (  _I  |`  ( A  \  { C , 
( `' F `  D ) } ) )  u.  { <. C ,  ( `' F `  D ) >. ,  <. ( `' F `  D ) ,  C >. } ) `
 C ) )  =  D )
6242, 61eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G `  C
)  =  D )
6336, 62jca 518 1  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  C  e.  A  /\  D  e.  B )  ->  ( G : A -1-1-onto-> B  /\  ( G `  C
)  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {cpr 3654   <.cop 3656    _I cid 4320   `'ccnv 4704    |` cres 4707    o. ccom 4709   Fun wfun 5265    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  infxpenc2  7665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279
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