Theorem fveqres 3755

Description: Equal values imply equal values in a restriction.

Assertion

Ref	Expression
fveqres	|- ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A))

Proof of Theorem fveqres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 3740	. . . 4 |- (A e. B -> ((F |` B)` A) = (F` A))
2		fvres 3740	. . . 4 |- (A e. B -> ((G |` B)` A) = (G` A))
3	1, 2	eqeq12d 1492	. . 3 |- (A e. B -> (((F |` B)` A) = ((G |` B)` A) <-> (F` A) = (G` A)))
4	3	biimprd 154	. 2 |- (A e. B -> ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A)))
5		nfvres 3754	. . . 4 |- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = (/))
6		nfvres 3754	. . . 4 |- (-. A e. B -> ((G |` B)` A) = (/))
7	5, 6	eqtr4d 1513	. . 3 |- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A))
8	7	a1d 12	. 2 |- (-. A e. B -> ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A)))
9	4, 8	pm2.61i 126	1 |- ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283   |` cres 3178  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  fvresex 3863

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain