Theorem fvi 3842

Description: The value of the identity function.

Assertion

Ref	Expression
fvi	|- (A e. B -> (I` A) = A)

Proof of Theorem fvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . 3 |- (x = A -> (I` x) = (I` A))
2		id 59	. . 3 |- (x = A -> x = A)
3	1, 2	eqeq12d 1489	. 2 |- (x = A -> ((I` x) = x <-> (I` A) = A))
4		df-fn 3193	. . . 4 |- (I Fn V <-> (Fun I /\ dom I = V))
5		funi 3545	. . . 4 |- Fun I
6		dmi 3326	. . . 4 |- dom I = V
7	4, 5, 6	mpbir2an 730	. . 3 |- I Fn V
8		visset 1813	. . 3 |- x e. V
9		ididg 3278	. . . . . 6 |- (x e. V -> xIx)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- xIx
11		df-br 2620	. . . . 5 |- (xIx <-> <.x, x>. e. I)
12	10, 11	mpbi 189	. . . 4 |- <.x, x>. e. I
13	8	fnopfvb 3754	. . . 4 |- ((I Fn V /\ x e. V) -> ((I` x) = x <-> <.x, x>. e. I))
14	12, 13	mpbiri 194	. . 3 |- ((I Fn V /\ x e. V) -> (I` x) = x)
15	7, 8, 14	mp2an 697	. 2 |- (I` x) = x
16	3, 15	vtoclg 1847	1 |- (A e. B -> (I` A) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  <.cop 2411   class class class wbr 2619  Icid 2831  dom cdm 3170  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvresi 3843  fac1 6935  facp1t 6936  acdc2lem2 7489  acdc5lem2 7492

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain