Theorem fvimacnvi 3804

Description: A member of a preimage is a function value argument.

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	|- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> (F` A) e. B)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass2 3573	. . 3 |- ((Fun F /\ {A} (_ (`'F"B)) -> (F"{A}) (_ B)
2		snssi 2466	. . 3 |- (A e. (`'F"B) -> {A} (_ (`'F"B))
3	1, 2	sylan2 451	. 2 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> (F"{A}) (_ B)
4		fnsnfv 3767	. . . . . 6 |- ((F Fn dom F /\ A e. dom F) -> {(F` A)} = (F"{A}))
5		funfn 3542	. . . . . 6 |- (Fun F <-> F Fn dom F)
6	4, 5	sylanb 449	. . . . 5 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> {(F` A)} = (F"{A}))
7		cnvimass 3423	. . . . . 6 |- (`'F"B) (_ dom F
8	7	sseli 2065	. . . . 5 |- (A e. (`'F"B) -> A e. dom F)
9	6, 8	sylan2 451	. . . 4 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> {(F` A)} = (F"{A}))
10	9	sseq1d 2088	. . 3 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> ({(F` A)} (_ B <-> (F"{A}) (_ B))
11		fvex 3732	. . . 4 |- (F` A) e. V
12	11	snss 2461	. . 3 |- ((F` A) e. B <-> {(F` A)} (_ B)
13	10, 12	syl5bb 532	. 2 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> ((F` A) e. B <-> (F"{A}) (_ B))
14	3, 13	mpbird 196	1 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> (F` A) e. B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  {csn 2409  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  "cima 3173  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvimacnv 3805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain