Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvline2 Unicode version

Theorem fvline2 24769
Description: Alternate definition of a line. (Contributed by Scott Fenton, 25-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fvline2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  { x  e.  ( EE `  N
)  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
Distinct variable groups:    x, N    x, A    x, B

Proof of Theorem fvline2
StepHypRef Expression
1 fvline 24767 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
2 liness 24768 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B ) 
C_  ( EE `  N ) )
31, 2eqsstr3d 3213 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  ->  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } 
C_  ( EE `  N ) )
4 df-ss 3166 . . . 4  |-  ( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  C_  ( EE `  N )  <-> 
( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  i^i  ( EE
`  N ) )  =  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
53, 4sylib 188 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  i^i  ( EE
`  N ) )  =  { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
61, 5eqtr4d 2318 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  ( { x  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  i^i  ( EE `  N ) ) )
7 dfrab2 3443 . 2  |-  { x  e.  ( EE `  N
)  |  x  Colinear  <. A ,  B >. }  =  ( { x  |  x 
Colinear 
<. A ,  B >. }  i^i  ( EE `  N ) )
86, 7syl6eqr 2333 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B ) )  -> 
( ALine B )  =  { x  e.  ( EE `  N
)  |  x  Colinear  <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   NNcn 9746   EEcee 24516    Colinear ccolin 24660  Linecline2 24757
This theorem is referenced by:  lineunray  24770  lineelsb2  24771  linerflx1  24772  linecom  24773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-ec 6662  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-ee 24519  df-colinear 24664  df-line2 24760
  Copyright terms: Public domain W3C validator