MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptd Unicode version

Theorem fvmptd 5622
Description: Deduction version of fvmpt 5618. (Contributed by Scott Fenton, 18-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptd.1  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  D  |->  B ) )
fvmptd.2  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  B  =  C )
fvmptd.3  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
fvmptd.4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
Assertion
Ref Expression
fvmptd  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem fvmptd
StepHypRef Expression
1 fvmptd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  D  |->  B ) )
21fveq1d 5543 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( x  e.  D  |->  B ) `  A ) )
3 fvmptd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  D )
4 fvmptd.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  B  =  C )
53, 4csbied 3136 . . . 4  |-  ( ph  ->  [_ A  /  x ]_ B  =  C
)
6 fvmptd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  V )
75, 6eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ A  /  x ]_ B  e.  V
)
8 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  B )  =  ( x  e.  D  |->  B )
98fvmpts 5619 . . 3  |-  ( ( A  e.  D  /\  [_ A  /  x ]_ B  e.  V )  ->  ( ( x  e.  D  |->  B ) `  A )  =  [_ A  /  x ]_ B
)
103, 7, 9syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  D  |->  B ) `  A )  =  [_ A  /  x ]_ B
)
112, 10, 53eqtrd 2332 1  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   [_csb 3094    e. cmpt 4093   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  fvmptdv2  5629  ttukeylem3  8154  ccatval1  11447  ccatval2  11448  prdsvscafval  13395  mrcval  13528  cidval  13595  subcid  13737  idfu2nd  13767  resf2nd  13785  fuccoval  13853  fucid  13861  homaval  13879  idaval  13906  setcval  13925  setcid  13934  catcval  13944  catcid  13951  prf1  13990  prf2  13992  curf1  14015  curf11  14016  curf2val  14020  hofval  14042  hof2  14047  yonval  14051  yonedalem4a  14065  frmdval  14489  vrmdval  14495  gexval  14905  pj1val  15020  dpjval  15307  sraval  15945  opsrval  16232  lmfval  16978  kgenval  17246  ptval  17281  fcfval  17744  blfval  17963  tmsval  18043  caufval  18717  taylpval  19762  logexprlim  20480  dchrval  20489  dchr1  20512  ballotlemfval  23064  ballotlemsv  23084  esummulc1  23464  esumcvg  23469  ofcval  23475  sigagenval  23516  measinb  23563  indv  23611  indval  23612  indfval  23615  totprobd  23644  probmeasb  23648  cndprobval  23651  dstrvprob  23687  dstfrvinc  23692  dstfrvclim1  23693  cvmliftlem9  23839  relexp0  24040  relexpsucr  24041  rtrclreclem.subset  24057  rtrclreclem.min  24059  dfrtrcl2  24060  itg2addnclem  25003  itg2addnc  25005  areacirc  25034  sgplpte21  26235  sgplpte22  26241  isray2  26256  isray  26257  aishp  26275  fmuldfeqlem1  27815  clim1fr1  27830  climrec  27832  climexp  27834  climneg  27839  itgsinexp  27852  stoweidlem7  27859  stoweidlem17  27869  stoweidlem32  27884  stoweidlem34  27886  wallispilem4  27920  wallispilem5  27921  wallispi  27922  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924  wallispi2  27925  stirlinglem1  27926  stirlinglem2  27927  stirlinglem3  27928  stirlinglem4  27929  stirlinglem5  27930  stirlinglem7  27932  stirlinglem8  27933  stirlinglem10  27935  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938  stirlinglem14  27939  stirlinglem15  27940  cdleme31fv2  31204  tendopl2  31588  tendoi2  31606  erngplus2  31615  erngplus2-rN  31623  hlhilset  32749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279
  Copyright terms: Public domain W3C validator