Theorem fvopab4g 3779

Description: Value of a function given by ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab4g.1	|- (x = A -> B = C)
fvopab4g.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. D /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
fvopab4g	|- ((A e. D /\ C e. R) -> (F` A) = C)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y   x,D,y

Proof of Theorem fvopab4g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. 2 |- C = C
2		fvopab4g.1	. . . 4 |- (x = A -> B = C)
3	2	eqeq2d 1486	. . 3 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
4		eqeq1 1481	. . 3 |- (y = C -> (y = C <-> C = C))
5		moeq 1920	. . . 4 |- E*y y = B
6	5	a1i 8	. . 3 |- (x e. D -> E*y y = B)
7		fvopab4g.2	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. D /\ y = B)}
8	3, 4, 6, 7	fvopab3ig 3778	. 2 |- ((A e. D /\ C e. R) -> (C = C -> (F` A) = C))
9	1, 8	mpi 44	1 |- ((A e. D /\ C e. R) -> (F` A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E*wmo 1381  {copab 2666  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvopab4 3780  fvopab4gf 3781  fvopabg 3785  mptg 4075  cfval 4906  fsum1 7005  mulc1cncf 7279  tgvalt 7616  cldval 7666  ntrfval 7667  clsfval 7668  ntrval 7676  clsval 7677  neifval 7714  neival 7717  lpfval 7742  lpval 7743  blfval 7835  opnfval 7857  lmfval 7925  caufval 7926  lmfexlem2 7957  grpidval 8058  grpinvfval 8066  grpinvval 8067  grpdivfval 8081  grplactfval 8096  issubg 8116  sincolem 8665  pjvalt 9239  spanvalt 9299  hsupval2t 9300  fiv 10482  fivOLD 10483  homcard 10539  sfvlim 10605  sfvlimOLD 10606  cnvtr 10638

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain