Theorem fvopab5 3793

Description: The value of a function that is expressed as an ordered pair abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab5.1	|- F = {<.x, y>. | ph}
fvopab5.2	|- (x = A -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
fvopab5	|- ((Fun F /\ A e. B) -> (F` A) = U.{y | ps})

Distinct variable groups:   x,y,A   ps,x

Proof of Theorem fvopab5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 971	. . 3 |- (z e. A -> A.y z e. A)
2		fvopab5.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | ph}
3		hbopab2 2814	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
4	2, 3	hbxfr 1563	. . 3 |- (z e. F -> A.y z e. F)
5	1, 4	funfv2f 3772	. 2 |- (Fun F -> (F` A) = U.{y | AFy})
6		elex 1819	. . . 4 |- (A e. B -> E.x x = A)
7		ax-17 971	. . . . . . . . 9 |- (z e. <.A, y>. -> A.x z e. <.A, y>.)
8		hbopab1 2813	. . . . . . . . 9 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
9	7, 8	hbel 1566	. . . . . . . 8 |- (<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph})
10		ax-17 971	. . . . . . . 8 |- (ps -> A.xps)
11	9, 10	hbbi 1010	. . . . . . 7 |- ((<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps) -> A.x(<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
12		opeq1 2487	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> <.x, y>. = <.A, y>.)
13	12	eleq1d 1540	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.A, y>. e. {<.x, y>. | ph}))
14		fvopab5.2	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> (ph <-> ps))
15		opabid 2810	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
16	14, 15	syl5bb 532	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
17	13, 16	bitr3d 530	. . . . . . 7 |- (x = A -> (<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
18	11, 17	19.23ai 1064	. . . . . 6 |- (E.x x = A -> (<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
19		df-br 2620	. . . . . . 7 |- (AFy <-> <.A, y>. e. F)
20	2	eleq2i 1538	. . . . . . 7 |- (<.A, y>. e. F <-> <.A, y>. e. {<.x, y>. | ph})
21	19, 20	bitr 173	. . . . . 6 |- (AFy <-> <.A, y>. e. {<.x, y>. | ph})
22	18, 21	syl5bb 532	. . . . 5 |- (E.x x = A -> (AFy <-> ps))
23	22	abbidv 1577	. . . 4 |- (E.x x = A -> {y | AFy} = {y | ps})
24	6, 23	syl 10	. . 3 |- (A e. B -> {y | AFy} = {y | ps})
25	24	unieqd 2512	. 2 |- (A e. B -> U.{y | AFy} = U.{y | ps})
26	5, 25	sylan9eq 1527	1 |- ((Fun F /\ A e. B) -> (F` A) = U.{y | ps})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  <.cop 2411  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  {copab 2666  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  adjvalt 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain