MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsn Unicode version

Theorem fvsn 5865
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsn.1  |-  A  e. 
_V
fvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvsn  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsn
StepHypRef Expression
1 fvsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 fvsn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2funsn 5439 . 2  |-  Fun  { <. A ,  B >. }
4 opex 4368 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
54snid 3784 . 2  |-  <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }
6 funopfv 5705 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  B >. }  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  B >. } `  A )  =  B ) )
73, 5, 6mp2 9 1  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   {csn 3757   <.cop 3760   Fun wfun 5388   ` cfv 5394
This theorem is referenced by:  fvsng  5866  fvsnun1  5867  fvpr1  5874  elixpsn  7037  mapsnen  7120  ac6sfi  7287  dcomex  8260  axdc3lem4  8266  0ram  13315  imasdsf1olem  18311  wlkntrllem4  21416  constr1trl  21436  grposn  21651  rngosn  21840  subfacp1lem2a  24645  subfacp1lem5  24649  cvmliftlem4  24754  axlowdimlem8  25602  axlowdimlem11  25605  fdc  26140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402
  Copyright terms: Public domain W3C validator