MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsn Unicode version

Theorem fvsn 5713
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsn.1  |-  A  e. 
_V
fvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvsn  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsn
StepHypRef Expression
1 fvsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 fvsn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2funsn 5300 . 2  |-  Fun  { <. A ,  B >. }
4 opex 4237 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
54snid 3667 . 2  |-  <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }
6 funopfv 5562 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  B >. }  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  B >. } `  A )  =  B ) )
73, 5, 6mp2 17 1  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {csn 3640   <.cop 3643   Fun wfun 5249   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  fvsng  5714  fvsnun1  5715  fvpr1  5722  elixpsn  6855  mapsnen  6938  ac6sfi  7101  dcomex  8073  axdc3lem4  8079  0ram  13067  imasdsf1olem  17937  grposn  20882  rngosn  21071  subfacp1lem2a  23711  subfacp1lem5  23715  cvmliftlem4  23819  axlowdimlem8  24577  axlowdimlem11  24580  1ded  25738  1cat  25759  fdc  26455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator