MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvsn Structured version   Unicode version

Theorem fvsn 5918
Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Hypotheses
Ref Expression
fvsn.1  |-  A  e. 
_V
fvsn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvsn  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B

Proof of Theorem fvsn
StepHypRef Expression
1 fvsn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 fvsn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2funsn 5491 . 2  |-  Fun  { <. A ,  B >. }
4 opex 4419 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
54snid 3833 . 2  |-  <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }
6 funopfv 5758 . 2  |-  ( Fun 
{ <. A ,  B >. }  ->  ( <. A ,  B >.  e.  { <. A ,  B >. }  ->  ( { <. A ,  B >. } `  A )  =  B ) )
73, 5, 6mp2 9 1  |-  ( {
<. A ,  B >. } `
 A )  =  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   <.cop 3809   Fun wfun 5440   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  fvsng  5919  fvsnun1  5920  fvpr1  5927  elixpsn  7093  mapsnen  7176  ac6sfi  7343  dcomex  8319  axdc3lem4  8325  0ram  13380  imasdsf1olem  18395  wlkntrllem2  21552  constr1trl  21580  grposn  21795  rngosn  21984  subfacp1lem2a  24858  subfacp1lem5  24862  cvmliftlem4  24967  axlowdimlem8  25880  axlowdimlem11  25883  fdc  26440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator