MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvssunirn Structured version   Unicode version

Theorem fvssunirn 5756
Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvssunirn  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F

Proof of Theorem fvssunirn
StepHypRef Expression
1 fvrn0 5755 . . 3  |-  ( F `
 X )  e.  ( ran  F  u.  {
(/) } )
2 elssuni 4045 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( ran  F  u.  { (/) } )  -> 
( F `  X
)  C_  U. ( ran  F  u.  { (/) } ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 X )  C_  U. ( ran  F  u.  {
(/) } )
4 uniun 4036 . . 3  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )
5 0ex 4341 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65unisn 4033 . . . 4  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3500 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ran  F  u.  (/) )
8 un0 3654 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  (/) )  = 
U. ran  F
94, 7, 83eqtri 2462 . 2  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  U. ran  F
103, 9sseqtri 3382 1  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   U.cuni 4017   ran crn 4881   ` cfv 5456
This theorem is referenced by:  ovssunirn  6109  marypha2lem1  7442  acnlem  7931  fin23lem29  8223  itunitc  8303  hsmexlem5  8312  wunfv  8609  wunex2  8615  strfvss  13489  prdsval  13680  prdsbas  13682  prdsplusg  13683  prdsmulr  13684  prdsvsca  13685  prdshom  13691  mreunirn  13828  mrcfval  13835  mrcssv  13841  mrisval  13857  sscpwex  14017  wunfunc  14098  catcxpccl  14306  filunirn  17916  elflim  18005  flffval  18023  fclsval  18042  isfcls  18043  fcfval  18067  tsmsxplem1  18184  xmetunirn  18369  mopnval  18470  tmsval  18513  cfilfval  19219  caufval  19230  issgon  24508  elrnsiga  24511  volmeas  24589  comppfsc  26389  neibastop2lem  26391  ismtyval  26511  ismrc  26757  nacsfix  26768  hbt  27313  dicval  31976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-cnv 4888  df-dm 4890  df-rn 4891  df-iota 5420  df-fv 5464
  Copyright terms: Public domain W3C validator