MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvssunirn Unicode version

Theorem fvssunirn 5551
Description: The result of a function value is always a subset of the union of the range, even if it is invalid and thus empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fvssunirn  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F

Proof of Theorem fvssunirn
StepHypRef Expression
1 fvrn0 5550 . . 3  |-  ( F `
 X )  e.  ( ran  F  u.  {
(/) } )
2 elssuni 3855 . . 3  |-  ( ( F `  X )  e.  ( ran  F  u.  { (/) } )  -> 
( F `  X
)  C_  U. ( ran  F  u.  { (/) } ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  ( F `
 X )  C_  U. ( ran  F  u.  {
(/) } )
4 uniun 3846 . . 3  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )
5 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
65unisn 3843 . . . 4  |-  U. { (/)
}  =  (/)
76uneq2i 3326 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  U. { (/)
} )  =  ( U. ran  F  u.  (/) )
8 un0 3479 . . 3  |-  ( U. ran  F  u.  (/) )  = 
U. ran  F
94, 7, 83eqtri 2307 . 2  |-  U. ( ran  F  u.  { (/) } )  =  U. ran  F
103, 9sseqtri 3210 1  |-  ( F `
 X )  C_  U.
ran  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   ran crn 4690   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  ovssunirn  5884  marypha2lem1  7188  acnlem  7675  fin23lem29  7967  itunitc  8047  hsmexlem5  8056  wunfv  8354  wunex2  8360  strfvss  13166  prdsval  13355  prdsbas  13357  prdsplusg  13358  prdsmulr  13359  prdsvsca  13360  prdshom  13366  mreunirn  13503  mrcfval  13510  mrcssv  13516  mrisval  13532  sscpwex  13692  wunfunc  13773  catcxpccl  13981  filunirn  17577  elflim  17666  flffval  17684  fclsval  17703  isfcls  17704  fcfval  17728  tsmsxplem1  17835  xmetunirn  17902  blfval  17947  mopnval  17984  tmsval  18027  cfilfval  18690  caufval  18701  issgon  23484  elrnsiga  23487  comppfsc  26307  neibastop2lem  26309  ismtyval  26524  ismrc  26776  nacsfix  26787  hbt  27334  dicval  31366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator