MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvtp1 Unicode version

Theorem fvtp1 5724
Description: The first value of a function with a domain of three elements. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fvtp1.1  |-  A  e. 
_V
fvtp1.4  |-  D  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fvtp1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )

Proof of Theorem fvtp1
StepHypRef Expression
1 df-tp 3648 . . 3  |-  { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. }  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } )
21fveq1i 5526 . 2  |-  ( {
<. A ,  D >. , 
<. B ,  E >. , 
<. C ,  F >. } `
 A )  =  ( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )
3 necom 2527 . . . 4  |-  ( A  =/=  C  <->  C  =/=  A )
4 fvunsn 5712 . . . 4  |-  ( C  =/=  A  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
53, 4sylbi 187 . . 3  |-  ( A  =/=  C  ->  (
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  { <. C ,  F >. } ) `  A )  =  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A ) )
6 fvtp1.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
7 fvtp1.4 . . . 4  |-  D  e. 
_V
86, 7fvpr1 5722 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. } `  A )  =  D )
95, 8sylan9eqr 2337 . 2  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( ( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. }  u.  {
<. C ,  F >. } ) `  A )  =  D )
102, 9syl5eq 2327 1  |-  ( ( A  =/=  B  /\  A  =/=  C )  -> 
( { <. A ,  D >. ,  <. B ,  E >. ,  <. C ,  F >. } `  A
)  =  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  fvtp2  5725  rabren3dioph  26898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator