Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz0n Unicode version

Theorem fz0n 24983
Description: The sequence  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) is empty iff  N is zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz0n  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )

Proof of Theorem fz0n
StepHypRef Expression
1 0z 10227 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 nn0z 10238 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 peano2zm 10254 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 fzn 11005 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/) ) )
61, 4, 5sylancr 645 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  =  (/) ) )
7 elnn0 10157 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
8 nnge1 9960 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
9 nnre 9941 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
10 1re 9025 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
11 subge0 9475 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  1  <_  N )
)
12 0re 9026 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
13 resubcl 9299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( N  -  1 )  e.  RR )
14 lenlt 9089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1512, 13, 14sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( N  -  1 )  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
1611, 15bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
179, 10, 16sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  <_  N  <->  -.  ( N  -  1 )  <  0 ) )
188, 17mpbid 202 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( N  -  1
)  <  0 )
19 nnne0 9966 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
2019neneqd 2568 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  N  =  0 )
2118, 202falsed 341 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
22 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
23 df-neg 9228 . . . . . . 7  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2422, 23syl6eqr 2439 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  =  -u 1 )
25 0lt1 9484 . . . . . . 7  |-  0  <  1
26 lt0neg2 9469 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
0  <  1  <->  -u 1  <  0 ) )
2710, 26ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 0  <  1  <->  -u 1  <  0 )
2825, 27mpbi 200 . . . . . 6  |-  -u 1  <  0
2924, 28syl6eqbr 4192 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( N  -  1 )  <  0 )
30 id 20 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
3129, 302thd 232 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0 ) )
3221, 31jaoi 369 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  =  0
) )
337, 32sylbi 188 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  -  1 )  <  0  <->  N  = 
0 ) )
346, 33bitr3d 247 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  =  (/)  <->  N  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3573   class class class wbr 4155  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225   -ucneg 9226   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ...cfz 10977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978
  Copyright terms: Public domain W3C validator