Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fz1eqin Unicode version

Theorem fz1eqin 26951
Description: Express a one-based finite range as the intersection of lower integers with  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1eqin  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) )

Proof of Theorem fz1eqin
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 nn0z 10062 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 10803 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <-> 
( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N ) ) )
41, 2, 3sylancr 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a  /\  a  <_  N ) ) )
5 3anass 938 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  a  /\  a  <_  N ) ) )
6 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( a  <_  N  /\  1  <_ 
a ) )
76anbi2i 675 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( 1  <_  a  /\  a  <_  N ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  N  /\  1  <_  a ) ) )
8 anandi 801 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  N  /\  1  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  1  <_  a ) ) )
95, 7, 83bitri 262 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a  /\  a  <_  N )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) )
104, 9syl6bb 252 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) ) )
11 elin 3371 . . . 4  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) 
<->  ( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  a  e.  NN )
)
12 ellz1 26949 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
132, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
14 elnnz1 10065 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a ) )
1514a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_ 
a ) ) )
1613, 15anbi12d 691 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  /\  a  e.  NN )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  1  <_  a )
) ) )
1711, 16syl5bb 248 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) 
<->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  1  <_  a ) ) ) )
1810, 17bitr4d 247 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( a  e.  ( 1 ... N )  <->  a  e.  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) ) )
1918eqrdv 2294 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( ZZ  \ 
( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  i^i  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    i^i cin 3164   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  diophin  26955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator