MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1f1o Unicode version

Theorem fz1f1o 12183
Description: A lemma for working with finite sums. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1f1o  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
Distinct variable group:    A, f

Proof of Theorem fz1f1o
StepHypRef Expression
1 hashcl 11350 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
2 elnn0 9967 . . . 4  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  <->  ( ( # `  A )  e.  NN  \/  ( # `  A
)  =  0 ) )
31, 2sylib 188 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  \/  ( # `
 A )  =  0 ) )
43orcomd 377 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  0  \/  ( # `
 A )  e.  NN ) )
5 hasheq0 11353 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  =  0  <->  A  =  (/) ) )
6 hashfz1 11345 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  (
1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
) )
71, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
) )
8 fzfi 11034 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( # `  A
) )  e.  Fin
9 hashen 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
) )
108, 9mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  =  ( # `  A
)  <->  ( 1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
) )
117, 10mpbid 201 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
1 ... ( # `  A
) )  ~~  A
)
12 bren 6871 . . . . 5  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  ~~  A 
<->  E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )
1311, 12sylib 188 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
1413biantrud 493 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( # `  A )  e.  NN  <->  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) ) )
155, 14orbi12d 690 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ( # `  A
)  =  0  \/  ( # `  A
)  e.  NN )  <-> 
( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) ) )
164, 15mpbid 201 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  sumz  12195  fsumf1o  12196  fsumss  12198  fsumcl2lem  12204  fsumadd  12211  fsummulc2  12246  fsumconst  12252  fsumrelem  12265  gsumval3eu  15190  gsumzres  15194  gsumzcl  15195  gsumzf1o  15196  gsumzaddlem  15203  gsumconst  15209  gsumzmhm  15210  gsumzoppg  15216  gsumfsum  16439  stoweidlem35  27784  stoweidlem39  27788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
  Copyright terms: Public domain W3C validator