MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1iso Unicode version

Theorem fz1iso 11447
Description: Any finite ordered set has an order isometry to a one-based finite sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1iso  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
Distinct variable groups:    A, f    R, f

Proof of Theorem fz1iso
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . 2  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
2 eqid 2316 . 2  |-  ( NN 
i^i  ( `'  <  " { ( ( # `  A )  +  1 ) } ) )  =  ( NN  i^i  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } ) )
3 eqid 2316 . 2  |-  ( om 
i^i  ( `' ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )  =  ( om 
i^i  ( `' ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
4 eqid 2316 . 2  |- OrdIso ( R ,  A )  = OrdIso
( R ,  A
)
51, 2, 3, 4fz1isolem 11446 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1532    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    i^i cin 3185   {csn 3674    e. cmpt 4114    Or wor 4350   omcom 4693   `'ccnv 4725    |` cres 4728   "cima 4729   ` cfv 5292    Isom wiso 5293  (class class class)co 5900   reccrdg 6464   Fincfn 6906  OrdIsocoi 7269   1c1 8783    + caddc 8785    < clt 8912   NNcn 9791   ...cfz 10829   #chash 11384
This theorem is referenced by:  summolem2  12236  zsum  12238  gsumval3  15240  erdsze2lem1  24018  prodmolem2  24438  zprod  24440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-nn 9792  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-fz 10830  df-hash 11385
  Copyright terms: Public domain W3C validator