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Theorem fz1isolem 11399
Description: Lemma for fz1iso 11400. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fz1iso.1  |-  G  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
fz1iso.2  |-  B  =  ( NN  i^i  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } ) )
fz1iso.3  |-  C  =  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
fz1iso.4  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
fz1isolem  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
Distinct variable groups:    f, n, A    B, f    f, G   
f, O    R, f
Allowed substitution hints:    B( n)    C( f, n)    R( n)    G( n)    O( n)

Proof of Theorem fz1isolem
StepHypRef Expression
1 hashcl 11350 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
21adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
3 nnuz 10263 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
5 fz1iso.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
64, 5om2uzisoi 11017 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  1
) )
7 isoeq5 5820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )  <->  G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= ` 
1 ) ) ) )
86, 7mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN ) )
93, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )
10 isocnv 5827 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )  ->  `' G  Isom  <  ,  _E  ( NN ,  om ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  `' G  Isom  <  ,  _E  ( NN ,  om )
12 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  +  1 )  e.  NN )
13 fz1iso.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( NN  i^i  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } ) )
14 fz1iso.3 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
15 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) )  e.  _V
1615epini 5043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `'  _E  " { ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) } )  =  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) )
1716ineq2i 3367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om 
i^i  ( `'  _E  " { ( `' G `  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) } ) )  =  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
1814, 17eqtr4i 2306 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( om  i^i  ( `'  _E  " { ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) } ) )
1913, 18isoini2 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G  Isom  <  ,  _E  ( NN ,  om )  /\  ( ( # `  A )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C ) )
2011, 12, 19sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C ) )
212, 20syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C ) )
22 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  NN  ->  f  e.  ZZ )
232nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
24 eluz 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f )  <->  f  <_  (
# `  A )
) )
2522, 23, 24syl2anr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( ( # `  A )  e.  (
ZZ>= `  f )  <->  f  <_  (
# `  A )
) )
26 zleltp1 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  -> 
( f  <_  ( # `
 A )  <->  f  <  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
2722, 23, 26syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  <_ 
( # `  A )  <-> 
f  <  ( ( # `
 A )  +  1 ) ) )
28 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  e. 
_V
29 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
3029eliniseg 5042 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  +  1 )  e.  _V  ->  (
f  e.  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } )  <->  f  <  (
( # `  A )  +  1 ) ) )
3128, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( `'  <  " { ( ( # `  A )  +  1 ) } )  <->  f  <  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
3227, 31syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  <_ 
( # `  A )  <-> 
f  e.  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } ) ) )
3325, 32bitr2d 245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } )  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f ) ) )
3433pm5.32da 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f  e.  NN  /\  f  e.  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } ) )  <->  ( f  e.  NN  /\  ( # `  A )  e.  (
ZZ>= `  f ) ) ) )
3513elin2 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  B  <->  ( f  e.  NN  /\  f  e.  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } ) ) )
36 elfzuzb 10792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( f  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f ) ) )
37 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  NN  <->  f  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837anbi1i 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  NN  /\  ( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  f
) )  <->  ( f  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f ) ) )
3936, 38bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( f  e.  NN  /\  ( # `  A )  e.  (
ZZ>= `  f ) ) )
4034, 35, 393bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  B  <->  f  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
4140eqrdv 2281 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  B  =  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
42 isoeq4 5819 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C )  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  C
) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C )  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  C
) ) )
4421, 43mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  C
) )
45 fz1iso.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
4645oion 7251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  O  e.  On )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  On )
48 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
49 wofi 7106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )
5045oien 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  R  We  A )  ->  dom  O  ~~  A
)
5148, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  ~~  A
)
52 enfii 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  O  ~~  A )  ->  dom  O  e.  Fin )
5348, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  Fin )
54 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
O  e.  ( On 
i^i  Fin )  <->  ( dom  O  e.  On  /\  dom  O  e.  Fin ) )
5547, 53, 54sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  ( On  i^i  Fin )
)
56 onfin2 7052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
5755, 56syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  om )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
59 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
605, 58, 4, 59uzrdgxfr 11029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
O  e.  om  ->  ( G `  dom  O
)  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  ( 1  -  0 ) ) )
61 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
6261subid1i 9118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6362oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  ( 1  -  0 ) )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O
)  +  1 )
6460, 63syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
O  e.  om  ->  ( G `  dom  O
)  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  1 ) )
6557, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( G `  dom  O )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  1 ) )
66 ensym 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom 
O  ~~  A  ->  A 
~~  dom  O )
6751, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  dom  O
)
68 cardennn 7616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  ~~  dom  O  /\  dom  O  e.  om )  ->  ( card `  A
)  =  dom  O
)
6967, 57, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( card `  A
)  =  dom  O
)
7069fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O ) )
7158hashgval 11340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  (
# `  A )
)
7370, 72eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  =  ( # `  A
) )
7473oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  1 )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
7565, 74eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( G `  dom  O )  =  ( (
# `  A )  +  1 ) )
7675fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G `  ( G `  dom  O
) )  =  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
77 isof1o 5822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )  ->  G : om -1-1-onto-> NN )
789, 77ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
79 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN  /\  dom  O  e.  om )  ->  ( `' G `  ( G `
 dom  O )
)  =  dom  O
)
8078, 57, 79sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G `  ( G `  dom  O
) )  =  dom  O )
8176, 80eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G `  ( ( # `  A
)  +  1 ) )  =  dom  O
)
8281ineq2d 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )  =  ( om 
i^i  dom  O ) )
83 ordom 4665 . . . . . . . . . . 11  |-  Ord  om
84 ordelss 4408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  om  /\  dom  O  e.  om )  ->  dom  O  C_  om )
8583, 57, 84sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  C_  om )
86 sseqin2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
O  C_  om  <->  ( om  i^i  dom  O )  =  dom  O )
8785, 86sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( om  i^i  dom  O )  =  dom  O
)
8882, 87eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )  =  dom  O
)
8914, 88syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  C  =  dom  O
)
90 isoeq5 5820 . . . . . . 7  |-  ( C  =  dom  O  -> 
( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  C
)  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O ) ) )
9189, 90syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  C
)  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O ) ) )
9244, 91mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O ) )
9345oiiso 7252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  R  We  A )  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  A
) )
9448, 49, 93syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  A
) )
95 isotr 5833 . . . . 5  |-  ( ( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O )  /\  O  Isom  _E  ,  R  ( dom 
O ,  A ) )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
9692, 94, 95syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
97 isof1o 5822 . . . 4  |-  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B )
)  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )
98 f1of 5472 . . . 4  |-  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B )
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
9996, 97, 983syl 18 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
100 fzfid 11035 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
101 fex 5749 . . 3  |-  ( ( ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  ( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )  -> 
( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  e.  _V )
10299, 100, 101syl2anc 642 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  e.  _V )
103 isoeq1 5816 . . 3  |-  ( f  =  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  ->  ( f  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )
104103spcegv 2869 . 2  |-  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B )
)  e.  _V  ->  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )
105102, 96, 104sylc 56 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _E cep 4303    Or wor 4313    We wwe 4351   Ord word 4391   Oncon0 4392   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ~~ cen 6860   Fincfn 6863  OrdIsocoi 7224   cardccrd 7568   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   #chash 11337
This theorem is referenced by:  fz1iso  11400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338
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