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Theorem fz1isolem 11710
Description: Lemma for fz1iso 11711. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fz1iso.1  |-  G  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
fz1iso.2  |-  B  =  ( NN  i^i  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } ) )
fz1iso.3  |-  C  =  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
fz1iso.4  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
fz1isolem  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
Distinct variable groups:    f, n, A    B, f    f, G   
f, O    R, f
Allowed substitution hints:    B( n)    C( f, n)    R( n)    G( n)    O( n)

Proof of Theorem fz1isolem
StepHypRef Expression
1 hashcl 11639 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
21adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  NN0 )
3 nnuz 10521 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4 1z 10311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  ZZ
5 fz1iso.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
64, 5om2uzisoi 11294 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  1
) )
7 isoeq5 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )  <->  G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= ` 
1 ) ) ) )
86, 7mpbiri 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  =  ( ZZ>= `  1
)  ->  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN ) )
93, 8ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )
10 isocnv 6050 . . . . . . . . . 10  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )  ->  `' G  Isom  <  ,  _E  ( NN ,  om ) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  `' G  Isom  <  ,  _E  ( NN ,  om )
12 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 A )  +  1 )  e.  NN )
13 fz1iso.2 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( NN  i^i  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } ) )
14 fz1iso.3 . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
15 fvex 5742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) )  e.  _V
1615epini 5234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `'  _E  " { ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) } )  =  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) )
1716ineq2i 3539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om 
i^i  ( `'  _E  " { ( `' G `  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) } ) )  =  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
1814, 17eqtr4i 2459 . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( om  i^i  ( `'  _E  " { ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) } ) )
1913, 18isoini2 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' G  Isom  <  ,  _E  ( NN ,  om )  /\  ( ( # `  A )  +  1 )  e.  NN )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C ) )
2011, 12, 19sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C ) )
212, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C ) )
22 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  NN  ->  f  e.  ZZ )
232nn0zd 10373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
24 eluz 10499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  -> 
( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f )  <->  f  <_  (
# `  A )
) )
2522, 23, 24syl2anr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( ( # `  A )  e.  (
ZZ>= `  f )  <->  f  <_  (
# `  A )
) )
26 zleltp1 10326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  -> 
( f  <_  ( # `
 A )  <->  f  <  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
2722, 23, 26syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  <_ 
( # `  A )  <-> 
f  <  ( ( # `
 A )  +  1 ) ) )
28 ovex 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  A )  +  1 )  e. 
_V
29 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  f  e. 
_V
3029eliniseg 5233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  A
)  +  1 )  e.  _V  ->  (
f  e.  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } )  <->  f  <  (
( # `  A )  +  1 ) ) )
3128, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( `'  <  " { ( ( # `  A )  +  1 ) } )  <->  f  <  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
3227, 31syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  <_ 
( # `  A )  <-> 
f  e.  ( `'  <  " { ( (
# `  A )  +  1 ) } ) ) )
3325, 32bitr2d 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  /\  f  e.  NN )  ->  ( f  e.  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } )  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f ) ) )
3433pm5.32da 623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( f  e.  NN  /\  f  e.  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } ) )  <->  ( f  e.  NN  /\  ( # `  A )  e.  (
ZZ>= `  f ) ) ) )
3513elin2 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  B  <->  ( f  e.  NN  /\  f  e.  ( `'  <  " {
( ( # `  A
)  +  1 ) } ) ) )
36 elfzuzb 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( f  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f ) ) )
37 elnnuz 10522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  NN  <->  f  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837anbi1i 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  NN  /\  ( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  f
) )  <->  ( f  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  f ) ) )
3936, 38bitr4i 244 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( f  e.  NN  /\  ( # `  A )  e.  (
ZZ>= `  f ) ) )
4034, 35, 393bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( f  e.  B  <->  f  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
4140eqrdv 2434 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  B  =  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
42 isoeq4 6042 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  (
( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C )  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  C
) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( B ,  C )  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  C
) ) )
4421, 43mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  C
) )
45 fz1iso.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  O  = OrdIso
( R ,  A
)
4645oion 7505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  Fin  ->  dom  O  e.  On )
4746adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  On )
48 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
49 wofi 7356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  R  We  A )
5045oien 7507 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  R  We  A )  ->  dom  O  ~~  A
)
5148, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  ~~  A
)
52 enfii 7326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  dom  O  ~~  A )  ->  dom  O  e.  Fin )
5348, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  Fin )
54 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
O  e.  ( On 
i^i  Fin )  <->  ( dom  O  e.  On  /\  dom  O  e.  Fin ) )
5547, 53, 54sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  ( On  i^i  Fin )
)
56 onfin2 7298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
5755, 56syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  e.  om )
58 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
59 0z 10293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
605, 58, 4, 59uzrdgxfr 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
O  e.  om  ->  ( G `  dom  O
)  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  ( 1  -  0 ) ) )
61 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
6261subid1i 9372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  0 )  =  1
6362oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  ( 1  -  0 ) )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O
)  +  1 )
6460, 63syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom 
O  e.  om  ->  ( G `  dom  O
)  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  1 ) )
6557, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( G `  dom  O )  =  ( ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  1 ) )
6651ensymd 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  dom  O
)
67 cardennn 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  ~~  dom  O  /\  dom  O  e.  om )  ->  ( card `  A
)  =  dom  O
)
6866, 57, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( card `  A
)  =  dom  O
)
6968fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  ( ( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O ) )
7058hashgval 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( rec ( ( n  e.  _V  |->  ( n  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A ) )  =  ( # `  A
) )
7170adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( card `  A
) )  =  (
# `  A )
)
7269, 71eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( rec (
( n  e.  _V  |->  ( n  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  =  ( # `  A
) )
7372oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( ( rec ( ( n  e. 
_V  |->  ( n  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  dom  O )  +  1 )  =  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
7465, 73eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( G `  dom  O )  =  ( (
# `  A )  +  1 ) )
7574fveq2d 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G `  ( G `  dom  O
) )  =  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )
76 isof1o 6045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  NN )  ->  G : om -1-1-onto-> NN )
779, 76ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  G : om
-1-1-onto-> NN
78 f1ocnvfv1 6014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : om -1-1-onto-> NN  /\  dom  O  e.  om )  ->  ( `' G `  ( G `
 dom  O )
)  =  dom  O
)
7977, 57, 78sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G `  ( G `  dom  O
) )  =  dom  O )
8075, 79eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G `  ( ( # `  A
)  +  1 ) )  =  dom  O
)
8180ineq2d 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )  =  ( om 
i^i  dom  O ) )
82 ordom 4854 . . . . . . . . . . 11  |-  Ord  om
83 ordelss 4597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Ord  om  /\  dom  O  e.  om )  ->  dom  O  C_  om )
8482, 57, 83sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  dom  O  C_  om )
85 sseqin2 3560 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
O  C_  om  <->  ( om  i^i  dom  O )  =  dom  O )
8684, 85sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( om  i^i  dom  O )  =  dom  O
)
8781, 86eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( om  i^i  ( `' G `  ( (
# `  A )  +  1 ) ) )  =  dom  O
)
8814, 87syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  C  =  dom  O
)
89 isoeq5 6043 . . . . . . 7  |-  ( C  =  dom  O  -> 
( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  C
)  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O ) ) )
9088, 89syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  C
)  <->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O ) ) )
9144, 90mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O ) )
9245oiiso 7506 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  R  We  A )  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  A
) )
9348, 49, 92syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  O  Isom  _E  ,  R  ( dom  O ,  A
) )
94 isotr 6056 . . . . 5  |-  ( ( ( `' G  |`  B )  Isom  <  ,  _E  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  dom  O )  /\  O  Isom  _E  ,  R  ( dom 
O ,  A ) )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
9591, 93, 94syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
96 isof1o 6045 . . . 4  |-  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B )
)  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )
97 f1of 5674 . . . 4  |-  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B )
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
9895, 96, 973syl 19 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
99 fzfid 11312 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
100 fex 5969 . . 3  |-  ( ( ( O  o.  ( `' G  |`  B ) ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  ( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )  -> 
( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  e.  _V )
10198, 99, 100syl2anc 643 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  e.  _V )
102 isoeq1 6039 . . 3  |-  ( f  =  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  ->  ( f  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `
 A ) ) ,  A )  <->  ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )
103102spcegv 3037 . 2  |-  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B )
)  e.  _V  ->  ( ( O  o.  ( `' G  |`  B ) )  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
)  ->  E. f 
f  Isom  <  ,  R  ( ( 1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) ) )
104101, 95, 103sylc 58 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  E. f  f  Isom  <  ,  R  ( (
1 ... ( # `  A
) ) ,  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    _E cep 4492    Or wor 4502    We wwe 4540   Ord word 4580   Oncon0 4581   omcom 4845   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454    Isom wiso 5455  (class class class)co 6081   reccrdg 6667    ~~ cen 7106   Fincfn 7109  OrdIsocoi 7478   cardccrd 7822   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   #chash 11618
This theorem is referenced by:  fz1iso  11711
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-hash 11619
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