MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1sbc Structured version   Unicode version

Theorem fz1sbc 11125
Description: Quantification over a one-member finite set of sequential integers in terms of substitution. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fz1sbc  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  ( N ... N ) ph  <->  [. N  /  k ]. ph ) )
Distinct variable group:    k, N
Allowed substitution hint:    ph( k)

Proof of Theorem fz1sbc
StepHypRef Expression
1 sbc6g 3187 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( [. N  /  k ]. ph  <->  A. k ( k  =  N  ->  ph )
) )
2 df-ral 2711 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( N ... N ) ph  <->  A. k
( k  e.  ( N ... N )  ->  ph ) )
3 elfz1eq 11069 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( N ... N )  ->  k  =  N )
4 elfz3 11068 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( N ... N
) )
5 eleq1 2497 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
k  e.  ( N ... N )  <->  N  e.  ( N ... N ) ) )
64, 5syl5ibrcom 215 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
k  =  N  -> 
k  e.  ( N ... N ) ) )
73, 6impbid2 197 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( N ... N )  <->  k  =  N ) )
87imbi1d 310 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ( N ... N )  ->  ph )  <->  ( k  =  N  ->  ph )
) )
98albidv 1636 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. k ( k  e.  ( N ... N
)  ->  ph )  <->  A. k
( k  =  N  ->  ph ) ) )
102, 9syl5rbb 251 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. k ( k  =  N  ->  ph )  <->  A. k  e.  ( N ... N
) ph ) )
111, 10bitr2d 247 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  ( N ... N ) ph  <->  [. N  /  k ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   [.wsbc 3162  (class class class)co 6082   ZZcz 10283   ...cfz 11044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-neg 9295  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045
  Copyright terms: Public domain W3C validator