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Theorem fzass4 10845
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( B  e.  ( A ... C
)  /\  C  e.  ( A ... D ) ) )

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  B  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
31, 2jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
4 uztrn 10260 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A )
)
54ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  C  e.  ( ZZ>= `  A )
)
65ad2ant2r 727 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  A ) )
7 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  C ) )
83, 6, 7jca32 521 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
9 simpll 730 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  B  e.  (
ZZ>= `  A ) )
10 uztrn 10260 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
1110ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
1211ad2ant2l 726 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  B ) )
139, 12jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
14 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
15 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  D  e.  (
ZZ>= `  C ) )
1613, 14, 15jca32 521 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  ->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
178, 16impbii 180 . 2  |-  ( ( ( B  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>=
`  B )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )  <-> 
( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) )  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
18 elfzuzb 10808 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... D )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
19 elfzuzb 10808 . . 3  |-  ( C  e.  ( B ... D )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) )
2018, 19anbi12i 678 . 2  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  B )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
21 elfzuzb 10808 . . 3  |-  ( B  e.  ( A ... C )  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>=
`  B ) ) )
22 elfzuzb 10808 . . 3  |-  ( C  e.  ( A ... D )  <->  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) )
2321, 22anbi12i 678 . 2  |-  ( ( B  e.  ( A ... C )  /\  C  e.  ( A ... D ) )  <->  ( ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  C  e.  ( ZZ>= `  B )
)  /\  ( C  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  D  e.  ( ZZ>=
`  C ) ) ) )
2417, 20, 233bitr4i 268 1  |-  ( ( B  e.  ( A ... D )  /\  C  e.  ( B ... D ) )  <->  ( B  e.  ( A ... C
)  /\  C  e.  ( A ... D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  ccatswrd  11475  splfv1  11486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
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