MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzdisj Unicode version

Theorem fzdisj 10833
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3371 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  <->  ( x  e.  ( J ... K
)  /\  x  e.  ( M ... N ) ) )
2 elfzel1 10813 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
43zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  RR )
5 elfzelz 10814 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
65zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
76adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
8 elfzel2 10812 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  K  e.  ZZ )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
109zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  RR )
11 elfzle1 10815 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1211adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  x )
13 elfzle2 10816 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  x  <_  K )
1413adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  K )
154, 7, 10, 12, 14letrd 8989 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
164, 10lenltd 8981 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M  <_  K  <->  -.  K  <  M ) )
1715, 16mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  K  <  M )
181, 17sylbi 187 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  ->  -.  K  <  M )
1918con2i 112 . 2  |-  ( K  <  M  ->  -.  x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) ) )
2019eq0rdv 3502 1  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   (/)c0 3468   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fsumm1  12232  fsum1p  12234  o1fsum  12287  climcndslem1  12324  climcndslem2  12325  mertenslem1  12356  prmreclem5  12983  strleun  13254  uniioombllem3  18956  mtest  19797  birthdaylem2  20263  fsumharmonic  20321  ftalem5  20330  chtdif  20412  ppidif  20417  lgsquadlem2  20610  dchrisum0lem1b  20680  dchrisum0lem3  20684  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem6  20748  pntpbnd2  20752  pntlemf  20770  ballotlemfrceq  23103  esumpmono  23462  axlowdimlem2  24643  axlowdimlem16  24657  clscnc  26113  fzdisjOLD  26549  eldioph2lem1  26942  stoweidlem11  27863  constr3trllem3  28398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator