MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzdisj Structured version   Unicode version

Theorem fzdisj 11078
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3530 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  <->  ( x  e.  ( J ... K
)  /\  x  e.  ( M ... N ) ) )
2 elfzel1 11058 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  e.  ZZ )
32adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
43zred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  e.  RR )
5 elfzelz 11059 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  ZZ )
65zred 10375 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  x  e.  RR )
76adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  RR )
8 elfzel2 11057 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  K  e.  ZZ )
98adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
109zred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  K  e.  RR )
11 elfzle1 11060 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  M  <_  x )
1211adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  x )
13 elfzle2 11061 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( J ... K )  ->  x  <_  K )
1413adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  <_  K )
154, 7, 10, 12, 14letrd 9227 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  M  <_  K )
164, 10lenltd 9219 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  -> 
( M  <_  K  <->  -.  K  <  M ) )
1715, 16mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J ... K )  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  -.  K  <  M )
181, 17sylbi 188 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) )  ->  -.  K  <  M )
1918con2i 114 . 2  |-  ( K  <  M  ->  -.  x  e.  ( ( J ... K )  i^i  ( M ... N
) ) )
2019eq0rdv 3662 1  |-  ( K  <  M  ->  (
( J ... K
)  i^i  ( M ... N ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319   (/)c0 3628   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  fsumm1  12537  fsum1p  12539  o1fsum  12592  climcndslem1  12629  climcndslem2  12630  mertenslem1  12661  prmreclem5  13288  strleun  13559  uniioombllem3  19477  mtest  20320  birthdaylem2  20791  fsumharmonic  20850  ftalem5  20859  chtdif  20941  ppidif  20946  lgsquadlem2  21139  dchrisum0lem1b  21209  dchrisum0lem3  21213  pntrsumbnd2  21261  pntrlog2bndlem6  21277  pntpbnd2  21281  pntlemf  21299  constr3trllem3  21639  esumpmono  24469  ballotlemfrceq  24786  fprod1p  25291  fprodeq0  25299  fallfacval4  25359  axlowdimlem2  25882  axlowdimlem16  25896  eldioph2lem1  26818  stoweidlem11  27736
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator