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Theorem fzen 10900
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem fzen
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5967 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
_V
21a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  e. 
_V )
3 ovex 5967 . . 3  |-  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V
43a1i 10 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V )
5 elfz1 10876 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
65biimpd 198 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) ) )
763adant3 975 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
8 zaddcl 10148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ZZ )
98expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1093ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1110adantrd 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
12 zre 10117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 10117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
14 zre 10117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
15 leadd1 9329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1716biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
) ) )
1817adantrd 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
19183com23 1157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
20193expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) ) )
2120imp3a 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( k  +  K ) ) )
22213adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
23 zre 10117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
24 leadd1 9329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2513, 23, 14, 24syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2625biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
2726adantld 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
28273coml 1158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
29283expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3029imp3a 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( k  +  K
)  <_  ( N  +  K ) ) )
31303adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
3211, 22, 313jcad 1133 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
33 zaddcl 10148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
34333adant2 974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
35 zaddcl 10148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
36353adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
37 elfz1 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3834, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3938biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  ( k  +  K )  /\  (
k  +  K )  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4032, 39syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) ) )
4140com12 27 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) ) )
42413impb 1147 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4342com12 27 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
447, 43syld 40 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
45 elfz1 10876 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4634, 36, 45syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4746biimpd 198 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) ) )
48 zsubcl 10150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
4948expcom 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
50493ad2ant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
5150adantrd 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
52 zre 10117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
53 leaddsub 9337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5412, 14, 52, 53syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5554biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5655adantrd 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  M  <_  (
m  -  K ) ) )
57563expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) ) )
5857imp3a 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
59583adant2 974 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
60 lesubadd 9333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6152, 14, 23, 60syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6261biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
m  <_  ( N  +  K )  ->  (
m  -  K )  <_  N ) )
6362adantld 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
64633coml 1158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
65643expia 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
6665imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
6766ancoms 439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
68673adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
6951, 59, 683jcad 1133 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( (
m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
70 elfz1 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N ) ) )
7170biimprd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
)  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
72713adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7369, 72syld 40 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7473com12 27 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
75743impb 1147 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7675com12 27 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7747, 76syld 40 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
787imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) )
7978simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8079ex 423 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
k  e.  ZZ ) )
8147imp 418 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) )
8281simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8382ex 423 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  ->  m  e.  ZZ )
)
84 zcn 10118 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
85 zcn 10118 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
86 zcn 10118 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
87 subadd 9141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m  -  K
)  =  k  <->  ( K  +  k )  =  m ) )
88 eqcom 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  K )  =  k  <->  k  =  ( m  -  K
) )
89 eqcom 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  k )  =  m  <->  m  =  ( K  +  k
) )
9087, 88, 893bitr3g 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( K  +  k
) ) )
91 addcom 9085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
92913adant1 973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
9392eqeq2d 2369 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  =  ( K  +  k )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9490, 93bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9584, 85, 86, 94syl3an 1224 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
96953coml 1158 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
97963expib 1154 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
98973ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
9980, 83, 98syl2and 469 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ( M ... N )  /\  m  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
1002, 4, 44, 77, 99en3d 6983 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   class class class wbr 4102  (class class class)co 5942    ~~ cen 6945   CCcc 8822   RRcr 8823    + caddc 8827    <_ cle 8955    - cmin 9124   ZZcz 10113   ...cfz 10871
This theorem is referenced by:  fz01en  10907  fzen2  11120  hashfz  11471  mertenslem1  12431  hashdvds  12934  birthdaylem2  20352  eldioph2lem1  26162
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-fz 10872
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