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Theorem fzen 11077
Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem fzen
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6109 . . 3  |-  ( M ... N )  e. 
_V
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  e. 
_V )
3 ovex 6109 . . 3  |-  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V
43a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) )  e. 
_V )
5 elfz1 11053 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
65biimpd 200 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( M ... N )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) ) )
763adant3 978 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N ) ) )
8 zaddcl 10322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ZZ )
98expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1093ad2ant3 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ZZ  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
1110adantrd 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ZZ ) )
12 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
13 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  RR )
14 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
15 leadd1 9501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1612, 13, 14, 15syl3an 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  <->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
1716biimpd 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  k  ->  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
) ) )
1817adantrd 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
19183com23 1160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
20193expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) ) )
2120imp3a 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( M  +  K
)  <_  ( k  +  K ) ) )
22213adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( M  +  K )  <_  (
k  +  K ) ) )
23 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
24 leadd1 9501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2513, 23, 14, 24syl3an 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  <->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
2625biimpd 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  <_  N  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K ) ) )
2726adantld 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
28273coml 1161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
29283expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ZZ  ->  ( ( M  <_ 
k  /\  k  <_  N )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3029imp3a 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  -> 
( k  +  K
)  <_  ( N  +  K ) ) )
31303adant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) )
3211, 22, 313jcad 1136 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
33 zaddcl 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K
)  e.  ZZ )
34333adant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M  +  K )  e.  ZZ )
35 zaddcl 10322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
36353adant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K )  e.  ZZ )
37 elfz1 11053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_ 
( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3834, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( (
k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  ( k  +  K
)  /\  ( k  +  K )  <_  ( N  +  K )
) ) )
3938biimprd 216 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( k  +  K )  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  ( k  +  K )  /\  (
k  +  K )  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4032, 39syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( k  +  K )  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) ) )
4140com12 30 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( M  <_  k  /\  k  <_  N ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  +  K )  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) ) )
42413impb 1150 . . . 4  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
4342com12 30 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  M  <_  k  /\  k  <_  N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
447, 43syld 43 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
( k  +  K
)  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) ) )
45 elfz1 11053 . . . . 5  |-  ( ( ( M  +  K
)  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
)  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4634, 36, 45syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  <->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) ) )
4746biimpd 200 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) ) )
48 zsubcl 10324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  -  K
)  e.  ZZ )
4948expcom 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
50493ad2ant3 981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
5150adantrd 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ZZ ) )
52 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
53 leaddsub 9509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5412, 14, 52, 53syl3an 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  <->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5554biimpd 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( M  +  K
)  <_  m  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
5655adantrd 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  M  <_  (
m  -  K ) ) )
57563expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) ) )
5857imp3a 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
59583adant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  M  <_  ( m  -  K ) ) )
60 lesubadd 9505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6152, 14, 23, 60syl3an 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  K
)  <_  N  <->  m  <_  ( N  +  K ) ) )
6261biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
m  <_  ( N  +  K )  ->  (
m  -  K )  <_  N ) )
6362adantld 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
64633coml 1161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
65643expia 1156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
)  ->  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
6665imp3a 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
6766ancoms 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K
) ) )  -> 
( m  -  K
)  <_  N )
)
68673adant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  <_  N
) )
6951, 59, 683jcad 1136 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( (
m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
) ) )
70 elfz1 11053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( m  -  K )  e.  ( M ... N )  <-> 
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N ) ) )
7170biimprd 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( m  -  K
)  /\  ( m  -  K )  <_  N
)  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
72713adant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( ( m  -  K )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( m  -  K )  /\  (
m  -  K )  <_  N )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7369, 72syld 43 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7473com12 30 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) ) )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
75743impb 1150 . . . 4  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  -  K )  e.  ( M ... N ) ) )
7675com12 30 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K
)  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
7747, 76syld 43 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  -> 
( m  -  K
)  e.  ( M ... N ) ) )
787imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  M  <_ 
k  /\  k  <_  N ) )
7978simp1d 970 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  k  e.  ZZ )
8079ex 425 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  -> 
k  e.  ZZ ) )
8147imp 420 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( m  e.  ZZ  /\  ( M  +  K )  <_  m  /\  m  <_  ( N  +  K )
) )
8281simp1d 970 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  m  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8382ex 425 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) )  ->  m  e.  ZZ )
)
84 zcn 10292 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
85 zcn 10292 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
86 zcn 10292 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  CC )
87 subadd 9313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
( m  -  K
)  =  k  <->  ( K  +  k )  =  m ) )
88 eqcom 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  -  K )  =  k  <->  k  =  ( m  -  K
) )
89 eqcom 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  +  k )  =  m  <->  m  =  ( K  +  k
) )
9087, 88, 893bitr3g 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( K  +  k
) ) )
91 addcom 9257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
92913adant1 976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( K  +  k )  =  ( k  +  K ) )
9392eqeq2d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
m  =  ( K  +  k )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9490, 93bitrd 246 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  CC  /\  K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
9584, 85, 86, 94syl3an 1227 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
96953coml 1161 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
k  =  ( m  -  K )  <->  m  =  ( k  +  K
) ) )
97963expib 1157 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
98973ad2ant3 981 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
9980, 83, 98syl2and 471 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( k  e.  ( M ... N )  /\  m  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) )  ->  ( k  =  ( m  -  K
)  <->  m  =  (
k  +  K ) ) ) )
1002, 4, 44, 77, 99en3d 7147 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( M ... N )  ~~  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084    ~~ cen 7109   CCcc 8993   RRcr 8994    + caddc 8998    <_ cle 9126    - cmin 9296   ZZcz 10287   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  fz01en  11084  fzen2  11313  hashfz  11697  mertenslem1  12666  hashdvds  13169  birthdaylem2  20796  eldioph2lem1  26832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-fz 11049
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