Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzennn Structured version   Unicode version

Theorem fzennn 11299
 Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See om2uz0i 11279 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fzennn.1
Assertion
Ref Expression
fzennn

Proof of Theorem fzennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6081 . . 3
2 fveq2 5720 . . 3
31, 2breq12d 4217 . 2
4 oveq2 6081 . . 3
5 fveq2 5720 . . 3
64, 5breq12d 4217 . 2
7 oveq2 6081 . . 3
8 fveq2 5720 . . 3
97, 8breq12d 4217 . 2
10 oveq2 6081 . . 3
11 fveq2 5720 . . 3
1210, 11breq12d 4217 . 2
13 0ex 4331 . . . 4
1413enref 7132 . . 3
15 fz10 11067 . . 3
16 0z 10285 . . . . . 6
17 fzennn.1 . . . . . 6
1816, 17om2uzf1oi 11285 . . . . 5
19 peano1 4856 . . . . 5
2018, 19pm3.2i 442 . . . 4
2116, 17om2uz0i 11279 . . . 4
22 f1ocnvfv 6008 . . . 4
2320, 21, 22mp2 9 . . 3
2414, 15, 233brtr4i 4232 . 2
25 simpr 448 . . . . 5
26 ovex 6098 . . . . . . 7
27 fvex 5734 . . . . . . 7
28 en2sn 7178 . . . . . . 7
2926, 27, 28mp2an 654 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
31 fzp1disj 11097 . . . . . 6
3231a1i 11 . . . . 5
33 f1ocnvdm 6010 . . . . . . . . . 10
3418, 33mpan 652 . . . . . . . . 9
35 nn0uz 10512 . . . . . . . . 9
3634, 35eleq2s 2527 . . . . . . . 8
37 nnord 4845 . . . . . . . 8
38 ordirr 4591 . . . . . . . 8
3936, 37, 383syl 19 . . . . . . 7
4039adantr 452 . . . . . 6
41 disjsn 3860 . . . . . 6
4240, 41sylibr 204 . . . . 5
43 unen 7181 . . . . 5
4425, 30, 32, 42, 43syl22anc 1185 . . . 4
45 1z 10303 . . . . . 6
46 1m1e0 10060 . . . . . . . . . 10
4746fveq2i 5723 . . . . . . . . 9
4835, 47eqtr4i 2458 . . . . . . . 8
4948eleq2i 2499 . . . . . . 7
5049biimpi 187 . . . . . 6
51 fzsuc2 11096 . . . . . 6
5245, 50, 51sylancr 645 . . . . 5
5352adantr 452 . . . 4
54 peano2 4857 . . . . . . . . 9
5536, 54syl 16 . . . . . . . 8
5655, 18jctil 524 . . . . . . 7
5716, 17om2uzsuci 11280 . . . . . . . . 9
5836, 57syl 16 . . . . . . . 8
5935eleq2i 2499 . . . . . . . . . . 11
6059biimpi 187 . . . . . . . . . 10
61 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . 10
6218, 60, 61sylancr 645 . . . . . . . . 9
6362oveq1d 6088 . . . . . . . 8
6458, 63eqtrd 2467 . . . . . . 7
65 f1ocnvfv 6008 . . . . . . 7
6656, 64, 65sylc 58 . . . . . 6
6766adantr 452 . . . . 5
68 df-suc 4579 . . . . 5
6967, 68syl6eq 2483 . . . 4
7044, 53, 693brtr4d 4234 . . 3
7170ex 424 . 2
723, 6, 9, 12, 24, 71nn0ind 10358 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cun 3310   cin 3311  c0 3620  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   word 4572   csuc 4575  com 4837  ccnv 4869   cres 4872  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  crdg 6659   cen 7098  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmin 9283  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cfz 11035 This theorem is referenced by:  fzen2  11300  cardfz  11301 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
 Copyright terms: Public domain W3C validator