Theorem fzf 11011

Description: Establish the domain and codomain of the finite integer sequence function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fzf	|- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzf

Dummy variables k m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3396	. . . 4 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ
2		zex 10255	. . . . 5 |- ZZ e. _V
3	2	elpw2 4332	. . . 4 |- ( { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } C_ ZZ )
4	1, 3	mpbir 201	. . 3 |- { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
5	4	rgen2w 2742	. 2 |- A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ
6		df-fz 11008	. . 3 |- ... = ( m e. ZZ , n e. ZZ |-> { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } )
7	6	fmpt2 6385	. 2 |- ( A. m e. ZZ A. n e. ZZ { k e. ZZ | ( m <_ k /\ k <_ n ) } e. ~P ZZ <-> ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ )
8	5, 7	mpbi 200	1 |- ... : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ

Syntax hints:   /\ wa 359   e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678   C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   class class class wbr 4180   X. cxp 4843   -->wf 5417   <_ cle 9085   ZZcz 10246   ...cfz 11007

This theorem is referenced by:  elfz2  11014  fzoval  11104  gsumval2a  14745  gsumval3  15477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-neg 9258  df-z 10247  df-fz 11008