MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Unicode version

Theorem fzfi 11239
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7273 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2448 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 225 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11003 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7235 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3506 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3322 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11238 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10463 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10450 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 5958 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3290 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11236 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7263 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 188 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2627 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   _Vcvv 2900    i^i cin 3263   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   Oncon0 4523   omcom 4786   `'ccnv 4818    |` cres 4821   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   reccrdg 6604    ~~ cen 7043   Fincfn 7046   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    - cmin 9224   NN0cn0 10154   ZZ>=cuz 10421   ...cfz 10976
This theorem is referenced by:  fzfid  11240  fzofi  11241  fsequb  11242  fsequb2  11243  fseqsupcl  11244  seqf1o  11292  hashdom  11581  fzsdom2  11621  seqcoll2  11641  caubnd  12090  limsupgre  12203  fz1f1o  12432  summolem3  12436  summolem2  12438  zsum  12440  phicl2  13085  phibnd  13088  hashdvds  13092  phiprmpw  13093  eulerth  13100  pcfac  13196  prmreclem2  13213  prmreclem3  13214  prmreclem4  13215  prmreclem5  13216  prmrec  13218  1arith  13223  vdwlem6  13282  vdwlem10  13286  vdwlem12  13288  isstruct2  13406  gsumval3  15442  coe1mul2  16590  ovoliunlem2  19267  uniioombllem6  19348  itg0  19539  itgz  19540  coemullem  20036  aannenlem1  20113  aannenlem2  20114  birthdaylem1  20658  birthdaylem2  20659  wilthlem2  20720  wilthlem3  20721  ftalem5  20727  ppifi  20756  prmdvdsfi  20758  chtdif  20809  ppidif  20814  chp1  20818  ppiltx  20828  prmorcht  20829  mumul  20832  sqff1o  20833  ppiub  20856  pclogsum  20867  logexprlim  20877  lgseisenlem2  21002  wlks  21391  wlkres  21394  trls  21401  crcts  21458  cycls  21459  konigsberg  21558  esumpcvgval  24265  esumcvg  24273  ballotlem1  24524  ballotlem2  24526  ballotlemfelz  24528  ballotlemfp1  24529  ballotlemfc0  24530  ballotlemfcc  24531  ballotlemfmpn  24532  ballotlemiex  24539  ballotlemsup  24542  ballotlemfg  24563  ballotlemfrc  24564  ballotlemfrceq  24566  ballotth  24575  subfacf  24641  subfacp1lem1  24645  subfacp1lem3  24648  subfacp1lem5  24650  subfacp1lem6  24651  erdszelem2  24658  erdszelem10  24666  cvmliftlem15  24765  prodmolem3  25039  prodmolem2  25041  zprod  25043  risefallfac  25109  axlowdimlem16  25611  bpolylem  25809  volsupnfl  25957  itg2addnclem2  25959  nnubfi  26146  nninfnub  26147  cntotbnd  26197  eldioph2lem1  26510  eldioph2lem2  26511  eldioph2  26512  pellexlem5  26588  pellex  26590  jm2.22  26758  jm2.23  26759  hbt  27004  phisum  27188  stoweidlem37  27455  stoweidlem44  27462  stoweidlem59  27477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977
  Copyright terms: Public domain W3C validator