MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Structured version   Unicode version

Theorem fzfi 11316
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7339 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2498 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 226 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11075 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7301 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3564 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3380 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11315 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10535 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10522 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 6021 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3348 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11313 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7329 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 644 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 189 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2682 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958    i^i cin 3321   (/)c0 3630   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   Oncon0 4584   omcom 4848   `'ccnv 4880    |` cres 4883   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   reccrdg 6670    ~~ cen 7109   Fincfn 7112   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    - cmin 9296   NN0cn0 10226   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048
This theorem is referenced by:  fzfid  11317  fzofi  11318  fsequb  11319  fsequb2  11320  fseqsupcl  11321  seqf1o  11369  hashdom  11658  fzsdom2  11698  seqcoll2  11718  caubnd  12167  limsupgre  12280  fz1f1o  12509  summolem3  12513  summolem2  12515  zsum  12517  phicl2  13162  phibnd  13165  hashdvds  13169  phiprmpw  13170  eulerth  13177  pcfac  13273  prmreclem2  13290  prmreclem3  13291  prmreclem4  13292  prmreclem5  13293  prmrec  13295  1arith  13300  vdwlem6  13359  vdwlem10  13363  vdwlem12  13365  isstruct2  13483  gsumval3  15519  coe1mul2  16667  ovoliunlem2  19404  uniioombllem6  19485  itg0  19674  itgz  19675  coemullem  20173  aannenlem1  20250  aannenlem2  20251  birthdaylem1  20795  birthdaylem2  20796  wilthlem2  20857  wilthlem3  20858  ftalem5  20864  ppifi  20893  prmdvdsfi  20895  chtdif  20946  ppidif  20951  chp1  20955  ppiltx  20965  prmorcht  20966  mumul  20969  sqff1o  20970  ppiub  20993  pclogsum  21004  logexprlim  21014  lgseisenlem2  21139  wlks  21531  wlkres  21534  trls  21541  crcts  21614  cycls  21615  konigsberg  21714  esumpcvgval  24473  esumcvg  24481  ballotlem1  24749  ballotlem2  24751  ballotlemfelz  24753  ballotlemfp1  24754  ballotlemfc0  24755  ballotlemfcc  24756  ballotlemfmpn  24757  ballotlemiex  24764  ballotlemsup  24767  ballotlemfg  24788  ballotlemfrc  24789  ballotlemfrceq  24791  ballotth  24800  subfacf  24866  subfacp1lem1  24870  subfacp1lem3  24873  subfacp1lem5  24875  subfacp1lem6  24876  erdszelem2  24883  erdszelem10  24891  cvmliftlem15  24990  prodmolem3  25264  prodmolem2  25266  zprod  25268  risefallfac  25345  axlowdimlem16  25901  bpolylem  26099  mblfinlem2  26255  volsupnfl  26262  itg2addnclem2  26270  nnubfi  26467  nninfnub  26468  cntotbnd  26518  eldioph2lem1  26831  eldioph2lem2  26832  eldioph2  26833  pellexlem5  26909  pellex  26911  jm2.22  27079  jm2.23  27080  hbt  27324  phisum  27508  stoweidlem37  27775  stoweidlem44  27782  stoweidlem59  27797  hashfzdm  28188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049
  Copyright terms: Public domain W3C validator