MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Unicode version

Theorem fzfi 11299
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7327 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2495 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 225 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 11059 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7289 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3554 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3370 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11298 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10519 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10506 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 6009 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3338 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11296 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7317 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 643 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 188 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2674 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   _Vcvv 2948    i^i cin 3311   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   omcom 4836   `'ccnv 4868    |` cres 4871   -1-1-onto->wf1o 5444   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   reccrdg 6658    ~~ cen 7097   Fincfn 7100   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    - cmin 9280   NN0cn0 10210   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032
This theorem is referenced by:  fzfid  11300  fzofi  11301  fsequb  11302  fsequb2  11303  fseqsupcl  11304  seqf1o  11352  hashdom  11641  fzsdom2  11681  seqcoll2  11701  caubnd  12150  limsupgre  12263  fz1f1o  12492  summolem3  12496  summolem2  12498  zsum  12500  phicl2  13145  phibnd  13148  hashdvds  13152  phiprmpw  13153  eulerth  13160  pcfac  13256  prmreclem2  13273  prmreclem3  13274  prmreclem4  13275  prmreclem5  13276  prmrec  13278  1arith  13283  vdwlem6  13342  vdwlem10  13346  vdwlem12  13348  isstruct2  13466  gsumval3  15502  coe1mul2  16650  ovoliunlem2  19387  uniioombllem6  19468  itg0  19659  itgz  19660  coemullem  20156  aannenlem1  20233  aannenlem2  20234  birthdaylem1  20778  birthdaylem2  20779  wilthlem2  20840  wilthlem3  20841  ftalem5  20847  ppifi  20876  prmdvdsfi  20878  chtdif  20929  ppidif  20934  chp1  20938  ppiltx  20948  prmorcht  20949  mumul  20952  sqff1o  20953  ppiub  20976  pclogsum  20987  logexprlim  20997  lgseisenlem2  21122  wlks  21514  wlkres  21517  trls  21524  crcts  21597  cycls  21598  konigsberg  21697  esumpcvgval  24456  esumcvg  24464  ballotlem1  24732  ballotlem2  24734  ballotlemfelz  24736  ballotlemfp1  24737  ballotlemfc0  24738  ballotlemfcc  24739  ballotlemfmpn  24740  ballotlemiex  24747  ballotlemsup  24750  ballotlemfg  24771  ballotlemfrc  24772  ballotlemfrceq  24774  ballotth  24783  subfacf  24849  subfacp1lem1  24853  subfacp1lem3  24856  subfacp1lem5  24858  subfacp1lem6  24859  erdszelem2  24866  erdszelem10  24874  cvmliftlem15  24973  prodmolem3  25248  prodmolem2  25250  zprod  25252  risefallfac  25329  axlowdimlem16  25844  bpolylem  26042  mblfinlem  26190  volsupnfl  26197  itg2addnclem2  26203  nnubfi  26391  nninfnub  26392  cntotbnd  26442  eldioph2lem1  26755  eldioph2lem2  26756  eldioph2  26757  pellexlem5  26833  pellex  26835  jm2.22  27003  jm2.23  27004  hbt  27249  phisum  27433  stoweidlem37  27700  stoweidlem44  27707  stoweidlem59  27722  hashfzdm  28070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033
  Copyright terms: Public domain W3C validator