MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Unicode version

Theorem fzfi 11034
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7087 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2343 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 224 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 10809 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7052 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3390 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3208 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11033 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10272 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 5796 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3178 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11031 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7080 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 187 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2522 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   omcom 4656   `'ccnv 4688    |` cres 4691   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  fzfid  11035  fzofi  11036  fsequb  11037  fsequb2  11038  fseqsupcl  11039  seqf1o  11087  hashdom  11361  fzsdom2  11382  seqcoll2  11402  caubnd  11842  limsupgre  11955  fz1f1o  12183  summolem3  12187  summolem2  12189  zsum  12191  phicl2  12836  phibnd  12839  hashdvds  12843  phiprmpw  12844  eulerth  12851  pcfac  12947  prmreclem2  12964  prmreclem3  12965  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  prmrec  12969  1arith  12974  vdwlem6  13033  vdwlem10  13037  vdwlem12  13039  isstruct2  13157  gsumval3  15191  coe1mul2  16346  ovoliunlem2  18862  uniioombllem6  18943  itg0  19134  itgz  19135  coemullem  19631  aannenlem1  19708  aannenlem2  19709  birthdaylem1  20246  birthdaylem2  20247  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  ftalem5  20314  ppifi  20343  prmdvdsfi  20345  chtdif  20396  ppidif  20401  chp1  20405  ppiltx  20415  prmorcht  20416  mumul  20419  sqff1o  20420  ppiub  20443  pclogsum  20454  logexprlim  20464  lgseisenlem2  20589  ballotlem1  23045  ballotlem2  23047  ballotlemfelz  23049  ballotlemfp1  23050  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemfmpn  23053  ballotlemiex  23060  ballotlemsup  23063  ballotlemfg  23084  ballotlemfrc  23085  ballotlemfrceq  23087  ballotth  23096  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  subfacf  23706  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem3  23713  subfacp1lem5  23715  subfacp1lem6  23716  erdszelem2  23723  erdszelem10  23731  cvmliftlem15  23829  konigsberg  23911  axlowdimlem16  24585  bpolylem  24783  nnubfi  26460  nninfnub  26461  cntotbnd  26520  eldioph2lem1  26839  eldioph2lem2  26840  eldioph2  26841  pellexlem5  26918  pellex  26920  jm2.22  27088  jm2.23  27089  hbt  27334  phisum  27518  stoweidlem11  27760  stoweidlem26  27775  stoweidlem32  27781  stoweidlem37  27786  stoweidlem38  27787  stoweidlem44  27793  stoweidlem59  27808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator