MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzfi Unicode version

Theorem fzfi 11050
Description: A finite interval of integers is finite. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzfi  |-  ( M ... N )  e. 
Fin

Proof of Theorem fzfi
StepHypRef Expression
1 0fin 7103 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
2 eleq1 2356 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( ( M ... N )  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
31, 2mpbiri 224 . 2  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  ( M ... N )  e. 
Fin )
4 fzn0 10825 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
5 onfin2 7068 . . . . . 6  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
6 inss2 3403 . . . . . 6  |-  ( On 
i^i  Fin )  C_  Fin
75, 6eqsstri 3221 . . . . 5  |-  om  C_  Fin
8 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om )
98hashgf1o 11049 . . . . . 6  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0
10 peano2uz 10288 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
11 uznn0sub 10275 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
1210, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  M )  e. 
NN0 )
13 f1ocnvdm 5812 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) : om -1-1-onto-> NN0  /\  ( ( N  + 
1 )  -  M
)  e.  NN0 )  ->  ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  om )
149, 12, 13sylancr 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  om )
157, 14sseldi 3191 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) )  e.  Fin )
168fzen2 11047 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  ~~  ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) ) )
17 enfii 7096 . . . 4  |-  ( ( ( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  + 
1 )  -  M
) )  e.  Fin  /\  ( M ... N
)  ~~  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om ) `  ( ( N  +  1 )  -  M ) ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
1815, 16, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
194, 18sylbi 187 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
203, 19pm2.61ine 2535 1  |-  ( M ... N )  e. 
Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   _Vcvv 2801    i^i cin 3164   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672   `'ccnv 4704    |` cres 4707   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NN0cn0 9981   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  fzfid  11051  fzofi  11052  fsequb  11053  fsequb2  11054  fseqsupcl  11055  seqf1o  11103  hashdom  11377  fzsdom2  11398  seqcoll2  11418  caubnd  11858  limsupgre  11971  fz1f1o  12199  summolem3  12203  summolem2  12205  zsum  12207  phicl2  12852  phibnd  12855  hashdvds  12859  phiprmpw  12860  eulerth  12867  pcfac  12963  prmreclem2  12980  prmreclem3  12981  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  prmrec  12985  1arith  12990  vdwlem6  13049  vdwlem10  13053  vdwlem12  13055  isstruct2  13173  gsumval3  15207  coe1mul2  16362  ovoliunlem2  18878  uniioombllem6  18959  itg0  19150  itgz  19151  coemullem  19647  aannenlem1  19724  aannenlem2  19725  birthdaylem1  20262  birthdaylem2  20263  wilthlem2  20323  wilthlem3  20324  ftalem5  20330  ppifi  20359  prmdvdsfi  20361  chtdif  20412  ppidif  20417  chp1  20421  ppiltx  20431  prmorcht  20432  mumul  20435  sqff1o  20436  ppiub  20459  pclogsum  20470  logexprlim  20480  lgseisenlem2  20605  ballotlem1  23061  ballotlem2  23063  ballotlemfelz  23065  ballotlemfp1  23066  ballotlemfc0  23067  ballotlemfcc  23068  ballotlemfmpn  23069  ballotlemiex  23076  ballotlemsup  23079  ballotlemfg  23100  ballotlemfrc  23101  ballotlemfrceq  23103  ballotth  23112  esumpcvgval  23461  esumcvg  23469  subfacf  23721  subfacp1lem1  23725  subfacp1lem3  23728  subfacp1lem5  23730  subfacp1lem6  23731  erdszelem2  23738  erdszelem10  23746  cvmliftlem15  23844  konigsberg  23926  prodmolem3  24156  prodmolem2  24158  zprod  24160  axlowdimlem16  24657  bpolylem  24855  itg2addnclem2  25004  nnubfi  26563  nninfnub  26564  cntotbnd  26623  eldioph2lem1  26942  eldioph2lem2  26943  eldioph2  26944  pellexlem5  27021  pellex  27023  jm2.22  27191  jm2.23  27192  hbt  27437  phisum  27621  stoweidlem11  27863  stoweidlem26  27878  stoweidlem32  27884  stoweidlem37  27889  stoweidlem38  27890  stoweidlem44  27896  stoweidlem59  27911  wlks  28328  wlkres  28331  trls  28335  crcts  28367  cycls  28368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
  Copyright terms: Public domain W3C validator