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Theorem fzind 10324
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind.5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
fzind.6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  (
x  <_  N  <->  M  <_  N ) )
21anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
3 fzind.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps ) ) )
5 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  N  <->  y  <_  N ) )
65anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N ) ) )
7 fzind.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
86, 7imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch ) ) )
9 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) )
109anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
11 fzind.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1210, 11imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
13 breq1 4175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <_  N  <->  K  <_  N ) )
1413anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  K  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
15 fzind.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
1614, 15imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  ta ) ) )
17 fzind.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
18173expib 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps ) )
19 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
20 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
21 p1le 9809 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
y  <_  N )
22213expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  y  <_  N )
)
2319, 20, 22syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  y  <_  N )
)
2423imdistanda 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )
) )
2524imim1d 71 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  ch ) ) )
26253ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  ch ) ) )
27 zltp1le 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  <  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) )
2827adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  < 
N  <->  ( y  +  1 )  <_  N
) )
2928expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( y  <  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) ) )
3029pm5.32d 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
3332expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
34333expa 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3534com12 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3631, 35sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( ch  ->  th )
) )
3736ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( ch  ->  th )
) ) )
3837com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3938exp3a 426 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) ) )
40393impib 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( y  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
4140com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
4241imp3a 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ( ch  ->  th )
) )
4342a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
4426, 43syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 10317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  ta ) )
4645exp3a 426 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <_  N  ->  ta ) ) )
4746com23 74 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) )
48473expb 1154 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )
)  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta )
) )
4948expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) ) )
5049com23 74 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) ) )
51503impia 1150 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) )
5251imp3a 421 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ta ) )
5352impcom 420 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  fnn0ind  10325  fzind2  11153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239
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