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Theorem fzind 10373
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind.5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
fzind.6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind
StepHypRef Expression
1 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  M  ->  (
x  <_  N  <->  M  <_  N ) )
21anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) ) )
3 fzind.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
42, 3imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  M  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps ) ) )
5 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
x  <_  N  <->  y  <_  N ) )
65anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N ) ) )
7 fzind.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
86, 7imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch ) ) )
9 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  <_  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) )
109anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
11 fzind.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
1210, 11imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
13 breq1 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  K  ->  (
x  <_  N  <->  K  <_  N ) )
1413anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  K  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) ) )
15 fzind.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
1614, 15imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  K  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  x  <_  N )  ->  ph )  <->  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  ta ) ) )
17 fzind.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
18173expib 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps ) )
19 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
20 zre 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
21 p1le 9858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
y  <_  N )
22213expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  y  <_  N )
)
2319, 20, 22syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  y  <_  N )
)
2423imdistanda 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )
) )
2524imim1d 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  ch ) ) )
26253ad2ant2 980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  ch ) ) )
27 zltp1le 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  <  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) )
2827adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( y  < 
N  <->  ( y  +  1 )  <_  N
) )
2928expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( y  <  N  <->  ( y  +  1 )  <_  N ) ) )
3029pm5.32d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
3130adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  ( y  +  1 )  <_  N )
) )
32 fzind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
3332expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
34333expa 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3534com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3631, 35sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( ch  ->  th )
) )
3736ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( ch  ->  th )
) ) )
3837com23 75 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y )  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  -> 
( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3938exp3a 427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) ) )
40393impib 1152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( y  +  1 )  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
4140com23 75 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( y  +  1 )  <_  N  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
4241imp3a 422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ( ch  ->  th )
) )
4342a2d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  +  1 )  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
4426, 43syld 43 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  M  <_  y )  ->  (
( ( N  e.  ZZ  /\  y  <_  N )  ->  ch )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  (
y  +  1 )  <_  N )  ->  th ) ) )
454, 8, 12, 16, 18, 44uzind 10366 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  K  <_  N )  ->  ta ) )
4645exp3a 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  <_  N  ->  ta ) ) )
4746com23 75 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) )
48473expb 1155 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )
)  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta )
) )
4948expcom 426 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( K  <_  N  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) ) )
5049com23 75 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K )  -> 
( K  <_  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) ) )
51503impia 1151 . . 3  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) ) )
5251imp3a 422 . 2  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ta ) )
5352impcom 421 1  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   RRcr 8994   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126   ZZcz 10287
This theorem is referenced by:  fnn0ind  10374  fzind2  11203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288
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