MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzind2 Unicode version

Theorem fzind2 10923
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. Version of fzind 10110 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind2.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind2.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind2.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind2.5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
fzind2.6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind2
StepHypRef Expression
1 elfz2 10789 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 anass 630 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
3 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
43anbi1i 676 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 3anass 938 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
72, 4, 63bitr4i 268 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
81, 7bitri 240 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
9 fzind2.1 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
10 fzind2.2 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
11 fzind2.3 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
12 fzind2.4 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
13 eluz2 10236 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 fzind2.5 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
1513, 14sylbir 204 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
16 3anass 938 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )
17 elfzo 10877 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  y  /\  y  < 
N ) ) )
18 fzind2.6 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl6bir 220 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
20193coml 1158 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
21203expa 1151 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2221impr 602 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
2316, 22sylan2b 461 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
249, 10, 11, 12, 15, 23fzind 10110 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
258, 24sylbi 187 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870
This theorem is referenced by:  seqcaopr3  11081  seqf1olem2a  11084  smupval  12679  smueqlem  12681  dvntaylp  19750  taylthlem1  19752  pntpbnd1  20735  pntlemf  20754  fmul01  27710  stoweidlem3  27752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871
  Copyright terms: Public domain W3C validator