MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzind2 Structured version   Unicode version

Theorem fzind2 11200
Description: Induction on the integers from  M to  N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction hypothesis. Version of fzind 10370 using integer range definitions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fzind2.1  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fzind2.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fzind2.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fzind2.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fzind2.5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
fzind2.6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fzind2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, M, y    x, N, y    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fzind2
StepHypRef Expression
1 elfz2 11052 . . 3  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
2 anass 632 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
3 df-3an 939 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ ) )
43anbi1i 678 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 3anass 941 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
65anbi2i 677 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) ) )
72, 4, 63bitr4i 270 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( M  <_  K  /\  K  <_  N ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
81, 7bitri 242 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
9 fzind2.1 . . 3  |-  ( x  =  M  ->  ( ph 
<->  ps ) )
10 fzind2.2 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
11 fzind2.3 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
12 fzind2.4 . . 3  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
13 eluz2 10496 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 fzind2.5 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ps )
1513, 14sylbir 206 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ps )
16 3anass 941 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  <_  y  /\  y  <  N )  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )
17 elfzo 11144 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
y  e.  ( M..^ N )  <->  ( M  <_  y  /\  y  < 
N ) ) )
18 fzind2.6 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ch  ->  th ) )
1917, 18syl6bir 222 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
20193coml 1161 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
21203expa 1154 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
2221impr 604 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  ( M  <_  y  /\  y  <  N ) ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
2316, 22sylan2b 463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  M  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
249, 10, 11, 12, 15, 23fzind 10370 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
258, 24sylbi 189 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1c1 8993    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137
This theorem is referenced by:  seqcaopr3  11360  seqf1olem2a  11363  smupval  13002  smueqlem  13004  dvntaylp  20289  taylthlem1  20291  pntpbnd1  21282  pntlemf  21301  prodfn0  25224  prodfrec  25225  fmul01  27688  stoweidlem3  27730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138
  Copyright terms: Public domain W3C validator