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Theorem fzm1 10878
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10251 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 10254 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 10803 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ZZ )
65a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ZZ ) )
7 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  M  <_  K )
87a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  M  <_  K ) )
9 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
10 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
11 ltlen 8938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/=  K ) ) )
129, 10, 11syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/= 
K ) ) )
13 necom 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  K  <->  K  =/=  N )
14 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  =/=  N  <->  -.  K  =  N )
1513, 14bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  =/=  K  <->  -.  K  =  N )
1615anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N ) )
17 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N
)  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1816, 17bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1912, 18syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
2120an4s 799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
22 zltlem1 10086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
232, 22sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2423biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2524ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2625ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2721, 26mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  ( N  - 
1 ) )
28273adantr2 1115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
306, 8, 293jcad 1133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3130ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  - 
1 ) ) ) ) )
32 1z 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
33 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
342, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 elfz1 10803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
361, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3736biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_ 
( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
3831, 37syl6d 64 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
3938com23 72 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) ) )
404, 39sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1
) ) ) ) )
4140imp 418 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
4241orrd 367 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  =  N  \/  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
4342orcomd 377 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
4443ex 423 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
45 fzssp1 10850 . . . . 5  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
462zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
47 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
48 npcan 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4946, 47, 48sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5049oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
5145, 50syl5sseq 3239 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5251sseld 3192 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) ) )
53 eluzfz2 10820 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
54 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( K  =  N  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
5553, 54syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  N  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5652, 55jaod 369 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5744, 56impbid 183 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798
This theorem is referenced by:  bcpasc  11349  phibndlem  12854  lgsdir2lem2  20579  acongeq  27173  jm2.26lem3  27197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799
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