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Theorem fzm1 10862
Description: Choices for an element of a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzm1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )

Proof of Theorem fzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10235 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
3 elfz1 10787 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <-> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) ) )
5 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ZZ )
65a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  e.  ZZ ) )
7 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  M  <_  K )
87a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  M  <_  K ) )
9 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  RR )
10 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  RR )
11 ltlen 8922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/=  K ) ) )
129, 10, 11syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( K  <_  N  /\  N  =/= 
K ) ) )
13 necom 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  =/=  K  <->  K  =/=  N )
14 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  =/=  N  <->  -.  K  =  N )
1513, 14bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  =/=  K  <->  -.  K  =  N )
1615anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N ) )
17 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  <_  N  /\  -.  K  =  N
)  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1816, 17bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  <_  N  /\  N  =/=  K )  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )
1912, 18syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( -.  K  =  N  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
2120an4s 799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <  N )
22 zltlem1 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
232, 22sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  <->  K  <_  ( N  - 
1 ) ) )
2423biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2524ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2625ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  -> 
( K  <  N  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
2721, 26mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  K  <_  N ) )  ->  K  <_  ( N  - 
1 ) )
28273adantr2 1115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N
)  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
2928ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  K  <_  ( N  -  1 ) ) )
306, 8, 293jcad 1133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  -.  K  =  N )  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N
)  ->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3130ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  -> 
( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  - 
1 ) ) ) ) )
32 1z 10053 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
33 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
342, 32, 33sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
35 elfz1 10787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
361, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  <->  ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
3736biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_ 
( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
3831, 37syl6d 64 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
3938com23 72 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) ) )
404, 39sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  -  1
) ) ) ) )
4140imp 418 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( -.  K  =  N  ->  K  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
4241orrd 367 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  =  N  \/  K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ) )
4342orcomd 377 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  K  e.  ( M ... N
) )  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
4443ex 423 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
45 fzssp1 10834 . . . . 5  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( M ... ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
462zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  CC )
47 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
48 npcan 9060 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
4946, 47, 48sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5049oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
5145, 50syl5sseq 3226 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5251sseld 3179 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  ->  K  e.  ( M ... N ) ) )
53 eluzfz2 10804 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
54 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( K  =  N  ->  ( K  e.  ( M ... N )  <->  N  e.  ( M ... N ) ) )
5553, 54syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  =  N  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5652, 55jaod 369 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N )  ->  K  e.  ( M ... N
) ) )
5744, 56impbid 183 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  e.  ( M ... N
)  <->  ( K  e.  ( M ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  bcpasc  11333  phibndlem  12838  lgsdir2lem2  20563  acongeq  27070  jm2.26lem3  27094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
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