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Theorem fzmaxdif 27068
Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzmaxdif  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )

Proof of Theorem fzmaxdif
StepHypRef Expression
1 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ( E ... F
) )
2 elfzelz 10798 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ZZ )
43zred 10117 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  RR )
5 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  ZZ )
65zred 10117 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  RR )
7 simp1r 980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ( B ... C
) )
8 elfzel1 10797 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  e.  ZZ )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  ZZ )
109zred 10117 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  RR )
116, 10resubcld 9211 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  RR )
124, 11resubcld 9211 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  e.  RR )
13 elfzelz 10798 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  e.  ZZ )
147, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ZZ )
1514zred 10117 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  RR )
16 elfzle2 10800 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  <_  F )
171, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  <_  F )
184, 6, 11, 17lesub1dd 9388 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_ 
( F  -  ( F  -  B )
) )
196recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  CC )
2010recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  CC )
2119, 20nncand 9162 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  ( F  -  B ) )  =  B )
2218, 21breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  B )
23 elfzle1 10799 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  <_  A )
247, 23syl 15 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  <_  A )
2512, 10, 15, 22, 24letrd 8973 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A )
26 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  ZZ )
2726zred 10117 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  RR )
284, 11readdcld 8862 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  +  ( F  -  B ) )  e.  RR )
29 elfzle2 10800 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  <_  C )
307, 29syl 15 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  C )
3127, 4resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
32 elfzel1 10797 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  e.  ZZ )
331, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  ZZ )
3433zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  RR )
3527, 34resubcld 9211 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  e.  RR )
36 elfzle1 10799 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  <_  D )
371, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  <_  D )
3834, 4, 27, 37lesub2dd 9389 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( C  -  E
) )
39 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )
4031, 35, 11, 38, 39letrd 8973 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( F  -  B
) )
4127, 4, 11lesubaddd 9369 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( C  -  D
)  <_  ( F  -  B )  <->  C  <_  ( ( F  -  B
)  +  D ) ) )
4240, 41mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( ( F  -  B )  +  D
) )
4311recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  CC )
444recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  CC )
4543, 44addcomd 9014 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( F  -  B
)  +  D )  =  ( D  +  ( F  -  B
) ) )
4642, 45breqtrd 4047 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4715, 27, 28, 30, 46letrd 8973 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4815, 4, 11absdifled 11917 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  D )
)  <_  ( F  -  B )  <->  ( ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A  /\  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) ) ) )
4925, 47, 48mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    + caddc 8740    <_ cle 8868    - cmin 9037   ZZcz 10024   ...cfz 10782   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  acongeq  27070
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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