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Theorem fzmaxdif 27037
Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzmaxdif  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )

Proof of Theorem fzmaxdif
StepHypRef Expression
1 simp2r 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ( E ... F
) )
2 elfzelz 11051 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ZZ )
43zred 10367 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  RR )
5 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  ZZ )
65zred 10367 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  RR )
7 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ( B ... C
) )
8 elfzel1 11050 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  e.  ZZ )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  ZZ )
109zred 10367 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  RR )
116, 10resubcld 9457 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  RR )
124, 11resubcld 9457 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  e.  RR )
13 elfzelz 11051 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  e.  ZZ )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ZZ )
1514zred 10367 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  RR )
16 elfzle2 11053 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  <_  F )
171, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  <_  F )
184, 6, 11, 17lesub1dd 9634 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_ 
( F  -  ( F  -  B )
) )
196recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  CC )
2010recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  CC )
2119, 20nncand 9408 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  ( F  -  B ) )  =  B )
2218, 21breqtrd 4228 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  B )
23 elfzle1 11052 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  <_  A )
247, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  <_  A )
2512, 10, 15, 22, 24letrd 9219 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A )
26 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  ZZ )
2726zred 10367 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  RR )
284, 11readdcld 9107 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  +  ( F  -  B ) )  e.  RR )
29 elfzle2 11053 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  <_  C )
307, 29syl 16 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  C )
3127, 4resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
32 elfzel1 11050 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  e.  ZZ )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  ZZ )
3433zred 10367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  RR )
3527, 34resubcld 9457 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  e.  RR )
36 elfzle1 11052 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  <_  D )
371, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  <_  D )
3834, 4, 27, 37lesub2dd 9635 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( C  -  E
) )
39 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )
4031, 35, 11, 38, 39letrd 9219 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( F  -  B
) )
4127, 4, 11lesubaddd 9615 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( C  -  D
)  <_  ( F  -  B )  <->  C  <_  ( ( F  -  B
)  +  D ) ) )
4240, 41mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( ( F  -  B )  +  D
) )
4311recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  CC )
444recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  CC )
4543, 44addcomd 9260 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( F  -  B
)  +  D )  =  ( D  +  ( F  -  B
) ) )
4642, 45breqtrd 4228 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4715, 27, 28, 30, 46letrd 9219 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4815, 4, 11absdifled 12229 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  D )
)  <_  ( F  -  B )  <->  ( ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A  /\  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) ) ) )
4925, 47, 48mpbir2and 889 1  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   ZZcz 10274   ...cfz 11035   abscabs 12031
This theorem is referenced by:  acongeq  27039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033
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