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Theorem fzmaxdif 27171
Description: Bound on the difference between two integers constrained to two possibly overlapping finite ranges. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzmaxdif  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )

Proof of Theorem fzmaxdif
StepHypRef Expression
1 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ( E ... F
) )
2 elfzelz 10814 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  e.  ZZ )
31, 2syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  ZZ )
43zred 10133 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  RR )
5 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  ZZ )
65zred 10133 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  RR )
7 simp1r 980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ( B ... C
) )
8 elfzel1 10813 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  e.  ZZ )
97, 8syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  ZZ )
109zred 10133 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  RR )
116, 10resubcld 9227 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  RR )
124, 11resubcld 9227 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  e.  RR )
13 elfzelz 10814 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  e.  ZZ )
147, 13syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  ZZ )
1514zred 10133 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  e.  RR )
16 elfzle2 10816 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  D  <_  F )
171, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  <_  F )
184, 6, 11, 17lesub1dd 9404 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_ 
( F  -  ( F  -  B )
) )
196recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  F  e.  CC )
2010recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  e.  CC )
2119, 20nncand 9178 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  ( F  -  B ) )  =  B )
2218, 21breqtrd 4063 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  B )
23 elfzle1 10815 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  B  <_  A )
247, 23syl 15 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  B  <_  A )
2512, 10, 15, 22, 24letrd 8989 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A )
26 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  ZZ )
2726zred 10133 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  e.  RR )
284, 11readdcld 8878 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( D  +  ( F  -  B ) )  e.  RR )
29 elfzle2 10816 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B ... C )  ->  A  <_  C )
307, 29syl 15 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  C )
3127, 4resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  e.  RR )
32 elfzel1 10813 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  e.  ZZ )
331, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  ZZ )
3433zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  e.  RR )
3527, 34resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  e.  RR )
36 elfzle1 10815 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( E ... F )  ->  E  <_  D )
371, 36syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  E  <_  D )
3834, 4, 27, 37lesub2dd 9405 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( C  -  E
) )
39 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )
4031, 35, 11, 38, 39letrd 8989 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( C  -  D )  <_  ( F  -  B
) )
4127, 4, 11lesubaddd 9385 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( C  -  D
)  <_  ( F  -  B )  <->  C  <_  ( ( F  -  B
)  +  D ) ) )
4240, 41mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( ( F  -  B )  +  D
) )
4311recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( F  -  B )  e.  CC )
444recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  D  e.  CC )
4543, 44addcomd 9030 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( F  -  B
)  +  D )  =  ( D  +  ( F  -  B
) ) )
4642, 45breqtrd 4063 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  C  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4715, 27, 28, 30, 46letrd 8989 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) )
4815, 4, 11absdifled 11933 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  D )
)  <_  ( F  -  B )  <->  ( ( D  -  ( F  -  B ) )  <_  A  /\  A  <_  ( D  +  ( F  -  B ) ) ) ) )
4925, 47, 48mpbir2and 888 1  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  A  e.  ( B ... C ) )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  D  e.  ( E ... F
) )  /\  ( C  -  E )  <_  ( F  -  B
) )  ->  ( abs `  ( A  -  D ) )  <_ 
( F  -  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053   ZZcz 10040   ...cfz 10798   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  acongeq  27173
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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