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Theorem fzmul 26546
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 10803 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
213adant3 975 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <->  ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
) ) )
3 zre 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
5 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
6 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
75, 6jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )
8 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J ) ) )
93, 4, 7, 8syl3an 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1093expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J 
<->  ( K  x.  M
)  <_  ( K  x.  J ) ) )
1110biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1211adantllr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
) ) )
13 zre 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N ) ) )
154, 13, 7, 14syl3an 1224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
16153expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1716ancom1s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1817biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
1918adantlll 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N
) ) )
2012, 19anim12d 546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
21 nnz 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
22 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  ZZ )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( K  x.  M )  e.  ZZ ) )
24 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )
2524ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ ) )
26 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )
2726ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  x.  J )  e.  ZZ ) )
2823, 25, 273anim123d 1259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
29 elfz 10804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  J
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
30293coml 1158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3128, 30syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3221, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3332com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
34333expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3534imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3620, 35sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3736an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3837exp4b 590 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( M  <_  J  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) ) ) )
39383impd 1165 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
40393impa 1146 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  -> 
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) ) ) )
412, 40sylbid 206 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   ZZcz 10040   ...cfz 10798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-fz 10799
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