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Theorem fzmul 26435
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 11040 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
213adant3 977 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <->  ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
) ) )
3 zre 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
5 nnre 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
6 nngt0 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
75, 6jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )
8 lemul2 9855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J ) ) )
93, 4, 7, 8syl3an 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1093expa 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J 
<->  ( K  x.  M
)  <_  ( K  x.  J ) ) )
1110biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1211adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
) ) )
13 zre 10278 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 lemul2 9855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N ) ) )
154, 13, 7, 14syl3an 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
16153expa 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1716ancom1s 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1817biimpd 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
1918adantlll 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N
) ) )
2012, 19anim12d 547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
21 nnz 10295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
22 zmulcl 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  ZZ )
2322ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( K  x.  M )  e.  ZZ ) )
24 zmulcl 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )
2524ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ ) )
26 zmulcl 10316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )
2726ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  x.  J )  e.  ZZ ) )
2823, 25, 273anim123d 1261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
29 elfz 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  J
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
30293coml 1160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3128, 30syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3221, 31syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3332com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
34333expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3534imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3620, 35sylibrd 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3736an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3837exp4b 591 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( M  <_  J  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) ) ) )
39383impd 1167 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
40393impa 1148 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  -> 
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) ) ) )
412, 40sylbid 207 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   ZZcz 10274   ...cfz 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275  df-fz 11036
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