Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzmul Unicode version

Theorem fzmul 26443
Description: Membership of a product in a finite interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzmul  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )

Proof of Theorem fzmul
StepHypRef Expression
1 elfz1 10787 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <-> 
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N ) ) )
213adant3 975 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  <->  ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N
) ) )
3 zre 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  RR )
5 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
6 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
75, 6jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN  ->  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )
8 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J ) ) )
93, 4, 7, 8syl3an 1224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  <->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1093expa 1151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J 
<->  ( K  x.  M
)  <_  ( K  x.  J ) ) )
1110biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J )
) )
1211adantllr 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( M  <_  J  ->  ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
) ) )
13 zre 10028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N ) ) )
154, 13, 7, 14syl3an 1224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  <->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
16153expa 1151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1716ancom1s 780 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N 
<->  ( K  x.  J
)  <_  ( K  x.  N ) ) )
1817biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) )
1918adantlll 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N
) ) )
2012, 19anim12d 546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
21 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
22 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  M
)  e.  ZZ )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( K  x.  M )  e.  ZZ ) )
24 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )
2524ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( K  x.  N )  e.  ZZ ) )
26 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )
2726ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( K  x.  J )  e.  ZZ ) )
2823, 25, 273anim123d 1259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  M )  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ ) ) )
29 elfz 10788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  x.  J
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
30293coml 1158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  x.  M
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  x.  J
)  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3128, 30syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3221, 31syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN  ->  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3332com12 27 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
34333expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  NN  ->  ( ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
)  <->  ( ( K  x.  M )  <_ 
( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) ) )
3534imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) )  <->  ( ( K  x.  M )  <_  ( K  x.  J
)  /\  ( K  x.  J )  <_  ( K  x.  N )
) ) )
3620, 35sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  J  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3736an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) )
3837exp4b 590 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ZZ  ->  ( M  <_  J  ->  ( J  <_  N  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M
) ... ( K  x.  N ) ) ) ) ) )
39383impd 1165 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  NN )  ->  ( ( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
40393impa 1146 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  (
( J  e.  ZZ  /\  M  <_  J  /\  J  <_  N )  -> 
( K  x.  J
)  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N ) ) ) )
412, 40sylbid 206 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( J  e.  ( M ... N )  ->  ( K  x.  J )  e.  ( ( K  x.  M ) ... ( K  x.  N )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator