MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn Unicode version

Theorem fzn 10810
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzn  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fzn
StepHypRef Expression
1 fzn0 10809 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
2 eluz 10241 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
31, 2syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  M  <_  N ) )
4 zre 10028 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10028 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 lenlt 8901 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
74, 5, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
83, 7bitr2d 245 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  < 
M  <->  ( M ... N )  =/=  (/) ) )
98necon4bbid 2511 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  fz1n  10812  fz10  10814  fzsuc2  10842  isumsplit  12299  arisum2  12319  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  vdwap0  13023  abelthlem6  19812  log2ublem3  20244  ppi1  20402  cht1  20403  ppiublem2  20442  lgsdir2lem3  20564  fz0n  24097  bpoly0  24785  fdc  26455  mettrifi  26473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator