MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn Unicode version

Theorem fzn 11005
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by NM, 22-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzn  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )

Proof of Theorem fzn
StepHypRef Expression
1 fzn0 11004 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
2 eluz 10433 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  N ) )
31, 2syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  M  <_  N ) )
4 zre 10220 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10220 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 lenlt 9089 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
74, 5, 6syl2an 464 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
83, 7bitr2d 246 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( -.  N  < 
M  <->  ( M ... N )  =/=  (/) ) )
98necon4bbid 2617 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  <->  ( M ... N )  =  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   (/)c0 3573   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924    < clt 9055    <_ cle 9056   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977
This theorem is referenced by:  fz1n  11007  fz10  11009  fzsuc2  11037  fzon  11090  isumsplit  12549  arisum2  12569  prmreclem4  13216  prmreclem5  13217  vdwap0  13273  abelthlem6  20221  log2ublem3  20657  ppi1  20816  cht1  20817  ppiublem2  20856  lgsdir2lem3  20978  fz0n  24983  risefall0lem  25112  fdc  26142  mettrifi  26156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-neg 9228  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978
  Copyright terms: Public domain W3C validator