MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzn0 Unicode version

Theorem fzn0 11004
Description: Properties of a finite interval of integers which is non-empty. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzn0  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )

Proof of Theorem fzn0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3582 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( M ... N
) )
2 elfzuz2 10996 . . . 4  |-  ( x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
32exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  (
ZZ>= `  M ) )
41, 3sylbi 188 . 2  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5 eluzfz1 10998 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
6 ne0i 3579 . . 3  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M ... N )  =/=  (/) )
84, 7impbii 181 1  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177   E.wex 1547    e. wcel 1717    =/= wne 2552   (/)c0 3573   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977
This theorem is referenced by:  fzn  11005  fzfi  11240  fseqsupcl  11245  fsumrev2  12494  gsumval3  15443  iscmet3  19119  dchrisum0flblem1  21071  pntrsumbnd2  21130  stoweidlem26  27445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-neg 9228  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978
  Copyright terms: Public domain W3C validator