Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzneg Structured version   Unicode version

Theorem fzneg 27038
Description: Reflection of a finite range of integers about 0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzneg  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B ... C )  <->  -u A  e.  ( -u C ... -u B ) ) )

Proof of Theorem fzneg
StepHypRef Expression
1 ancom 438 . . 3  |-  ( ( B  <_  A  /\  A  <_  C )  <->  ( A  <_  C  /\  B  <_  A ) )
2 zre 10278 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
323ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
4 zre 10278 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  RR )
543ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  RR )
63, 5lenegd 9597 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  C  <->  -u C  <_  -u A ) )
7 zre 10278 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
873ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
98, 3lenegd 9597 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  <_  A  <->  -u A  <_  -u B ) )
106, 9anbi12d 692 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  <_  C  /\  B  <_  A )  <-> 
( -u C  <_  -u A  /\  -u A  <_  -u B
) ) )
111, 10syl5bb 249 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( B  <_  A  /\  A  <_  C )  <-> 
( -u C  <_  -u A  /\  -u A  <_  -u B
) ) )
12 elfz 11041 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B ... C )  <->  ( B  <_  A  /\  A  <_  C ) ) )
13 znegcl 10305 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
14 znegcl 10305 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  -u C  e.  ZZ )
15 znegcl 10305 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  -u B  e.  ZZ )
16 elfz 11041 . . . 4  |-  ( (
-u A  e.  ZZ  /\  -u C  e.  ZZ  /\  -u B  e.  ZZ )  ->  ( -u A  e.  ( -u C ... -u B )  <->  ( -u C  <_ 
-u A  /\  -u A  <_ 
-u B ) ) )
1713, 14, 15, 16syl3an 1226 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -u A  e.  ( -u C ... -u B )  <->  ( -u C  <_ 
-u A  /\  -u A  <_ 
-u B ) ) )
18173com23 1159 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( -u A  e.  ( -u C ... -u B )  <->  ( -u C  <_ 
-u A  /\  -u A  <_ 
-u B ) ) )
1911, 12, 183bitr4d 277 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( B ... C )  <->  -u A  e.  ( -u C ... -u B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981    <_ cle 9113   -ucneg 9284   ZZcz 10274   ...cfz 11035
This theorem is referenced by:  acongeq  27039
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-z 10275  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator