MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fznn0sub Unicode version

Theorem fznn0sub 10916
Description: Subtraction closure for a member of a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fznn0sub  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )

Proof of Theorem fznn0sub
StepHypRef Expression
1 elfzuz3 10887 . 2  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
2 uznn0sub 10351 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
31, 2syl 15 1  |-  ( K  e.  ( M ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    - cmin 9127   NN0cn0 10057   ZZ>=cuz 10322   ...cfz 10874
This theorem is referenced by:  fznn0sub2  10917  bcrpcl  11414  bcm1k  11420  bcp1n  11421  bcval5  11423  bcpasc  11426  permnn  11429  swrdlen  11552  binomlem  12384  binom1p  12386  mertenslem1  12437  mertens  12439  efaddlem  12471  pcbc  13045  coe1mul2  16445  coe1tmmul2  16451  coe1tmmul  16452  coe1mul3  19589  plymullem1  19700  plymullem  19702  coemullem  19735  coemulhi  19739  coemulc  19740  vieta1lem2  19795  aareccl  19810  aalioulem1  19816  dvntaylp  19854  dvntaylp0  19855  birthdaylem2  20358  basellem3  20432  bpolycl  25346  bpolysum  25347  bpolydiflem  25348  jm2.22  26411  jm2.23  26412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-fz 10875
  Copyright terms: Public domain W3C validator