MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 12581
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 10883 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 10875 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 10117 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoel2 10874 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
54zred 10117 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  RR )
63, 5ltnled 8966 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
71, 6mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  <_  B )
94adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
10 elfzofz 10889 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ( 0 ... A
) )
11 elfznn0 10822 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  B  e.  NN0 )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
14 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
15 eldifsn 3749 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1613, 14, 15sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
17 dfn2 9978 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1816, 17syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
19 dvdsle 12574 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
209, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
218, 20mtod 168 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  ||  B )
2221ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =/=  0  ->  -.  A  ||  B ) )
2322necon4ad 2507 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
24 dvds0 12544 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
254, 24syl 15 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
26 breq2 4027 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
2725, 26syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
2823, 27impbid 183 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   0cc0 8737    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  fzocongeq  12582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator