MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 12597
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 10899 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoel2 10890 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
54zred 10133 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  RR )
63, 5ltnled 8982 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
71, 6mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
87adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  <_  B )
94adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
10 elfzofz 10905 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ( 0 ... A
) )
11 elfznn0 10838 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  B  e.  NN0 )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
1312adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
14 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
15 eldifsn 3762 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1613, 14, 15sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
17 dfn2 9994 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1816, 17syl6eleqr 2387 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
19 dvdsle 12590 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
209, 18, 19syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
218, 20mtod 168 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  ||  B )
2221ex 423 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =/=  0  ->  -.  A  ||  B ) )
2322necon4ad 2520 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
24 dvds0 12560 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
254, 24syl 15 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
26 breq2 4043 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
2725, 26syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
2823, 27impbid 183 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   0cc0 8753    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  fzocongeq  12598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-dvds 12548
  Copyright terms: Public domain W3C validator