MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 12829
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 11078 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 11070 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 10307 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoel2 11069 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
54zred 10307 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  RR )
63, 5ltnled 9152 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
71, 6mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  <_  B )
94adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
10 elfzofz 11084 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ( 0 ... A
) )
11 elfznn0 11015 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  B  e.  NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
1312adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
14 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
15 eldifsn 3870 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1613, 14, 15sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
17 dfn2 10166 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1816, 17syl6eleqr 2478 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
19 dvdsle 12822 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
209, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
218, 20mtod 170 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  ||  B )
2221ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =/=  0  ->  -.  A  ||  B ) )
2322necon4ad 2611 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
24 dvds0 12792 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
254, 24syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
26 breq2 4157 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
2725, 26syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
2823, 27impbid 184 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    \ cdif 3260   {csn 3757   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   0cc0 8923    < clt 9053    <_ cle 9054   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ...cfz 10975  ..^cfzo 11065    || cdivides 12779
This theorem is referenced by:  fzocongeq  12830
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-dvds 12780
  Copyright terms: Public domain W3C validator