MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzo0dvdseq Structured version   Unicode version

Theorem fzo0dvdseq 12892
Description: Zero is the only one of the first  A nonnegative integers that is divisible by  A. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzo0dvdseq  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )

Proof of Theorem fzo0dvdseq
StepHypRef Expression
1 elfzolt2 11138 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  <  A )
2 elfzoelz 11130 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ZZ )
32zred 10365 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  RR )
4 elfzoel2 11129 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  ZZ )
54zred 10365 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  e.  RR )
63, 5ltnled 9210 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  <  A  <->  -.  A  <_  B ) )
71, 6mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  -.  A  <_  B )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  <_  B )
94adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
10 elfzofz 11144 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  ( 0 ... A
) )
11 elfznn0 11073 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( 0 ... A )  ->  B  e.  NN0 )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  B  e.  NN0 )
1312adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN0 )
14 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
15 eldifsn 3919 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( NN0  \  {
0 } )  <->  ( B  e.  NN0  /\  B  =/=  0 ) )
1613, 14, 15sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  ( NN0  \  {
0 } ) )
17 dfn2 10224 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
1816, 17syl6eleqr 2526 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  NN )
19 dvdsle 12885 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B )
)
209, 18, 19syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  ||  B  ->  A  <_  B ) )
218, 20mtod 170 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( 0..^ A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -.  A  ||  B )
2221ex 424 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =/=  0  ->  -.  A  ||  B ) )
2322necon4ad 2659 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  ->  B  = 
0 ) )
24 dvds0 12855 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  ||  0 )
254, 24syl 16 . . 3  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  A  ||  0
)
26 breq2 4208 . . 3  |-  ( B  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  A  ||  0
) )
2725, 26syl5ibrcom 214 . 2  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( B  =  0  ->  A  ||  B ) )
2823, 27impbid 184 1  |-  ( B  e.  ( 0..^ A )  ->  ( A  ||  B  <->  B  =  0
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309   {csn 3806   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   0cc0 8980    < clt 9110    <_ cle 9111   NNcn 9990   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   ...cfz 11033  ..^cfzo 11125    || cdivides 12842
This theorem is referenced by:  fzocongeq  12893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-dvds 12843
  Copyright terms: Public domain W3C validator