MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoend Structured version   Unicode version

Theorem fzoend 11188
Description: The endpoint of a half-open integer range. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoend  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( A..^ B ) )

Proof of Theorem fzoend
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  A  e.  ( A..^ B ) )
2 elfzoel2 11140 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  B  e.  ZZ )
3 fzoval 11142 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  ( A..^ B )  =  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
51, 4eleqtrd 2513 . . . 4  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  A  e.  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
6 elfzuz3 11057 . . . 4  |-  ( A  e.  ( A ... ( B  -  1
) )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A )
)
8 eluzfz2 11066 . . 3  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( A ... ( B  -  1 ) ) )
109, 4eleqtrrd 2514 1  |-  ( A  e.  ( A..^ B
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( A..^ B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   1c1 8992    - cmin 9292   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044  ..^cfzo 11136
This theorem is referenced by:  fzo0end  11189  efgsdmi  15365  efgs1b  15369  ssfzo12  28131  fzoopth  28140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-pre-lttri 9065
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-neg 9295  df-z 10284  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137
  Copyright terms: Public domain W3C validator