MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Unicode version

Theorem fzof 10888
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 10848 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  m )
2 uzssz 10263 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ZZ
31, 2sstri 3201 . . . 4  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ZZ
4 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
_V
54elpw 3644 . . . 4  |-  ( ( m ... ( n  -  1 ) )  e.  ~P ZZ  <->  ( m ... ( n  -  1 ) )  C_  ZZ )
63, 5mpbir 200 . . 3  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
~P ZZ
76rgen2w 2624 . 2  |-  A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ
8 df-fzo 10887 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
98fmpt2 6207 . 2  |-  ( A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ 
<-> ..^
: ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ )
107, 9mpbi 199 1  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    - cmin 9053   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886
This theorem is referenced by:  elfzoel1  10889  elfzoel2  10890  elfzoelz  10891  fzoval  10892  fzofi  11052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-neg 9056  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887
  Copyright terms: Public domain W3C validator