MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzof Unicode version

Theorem fzof 11060
Description: Functionality of the half-open integer set function. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzof  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ

Proof of Theorem fzof
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 11018 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  m )
2 uzssz 10430 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  m )  C_  ZZ
31, 2sstri 3293 . . . 4  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  C_  ZZ
4 ovex 6038 . . . . 5  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
_V
54elpw 3741 . . . 4  |-  ( ( m ... ( n  -  1 ) )  e.  ~P ZZ  <->  ( m ... ( n  -  1 ) )  C_  ZZ )
63, 5mpbir 201 . . 3  |-  ( m ... ( n  - 
1 ) )  e. 
~P ZZ
76rgen2w 2710 . 2  |-  A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ
8 df-fzo 11059 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
98fmpt2 6350 . 2  |-  ( A. m  e.  ZZ  A. n  e.  ZZ  ( m ... ( n  -  1
) )  e.  ~P ZZ 
<-> ..^
: ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ )
107, 9mpbi 200 1  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717   A.wral 2642    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735    X. cxp 4809   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   1c1 8917    - cmin 9216   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968  ..^cfzo 11058
This theorem is referenced by:  elfzoel1  11061  elfzoel2  11062  elfzoelz  11063  fzoval  11064  fzofi  11233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-neg 9219  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059
  Copyright terms: Public domain W3C validator