MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofi Structured version   Unicode version

Theorem fzofi 11315
Description: Half-open integer sets are finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzofi  |-  ( M..^ N )  e.  Fin

Proof of Theorem fzofi
StepHypRef Expression
1 fzoval 11143 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
21adantl 454 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
3 fzfi 11313 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
42, 3syl6eqel 2526 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
5 fzof 11139 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
65fdmi 5598 . . . 4  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
76ndmov 6233 . . 3  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
8 0fin 7338 . . 3  |-  (/)  e.  Fin
97, 8syl6eqel 2526 . 2  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  e.  Fin )
104, 9pm2.61i 159 1  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801    X. cxp 4878  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   1c1 8993    - cmin 9293   ZZcz 10284   ...cfz 11045  ..^cfzo 11137
This theorem is referenced by:  uzindi  11322  iswrd  11731  wrdfin  11736  fsumtscopo  12583  fsumparts  12587  geoserg  12647  bitsfi  12951  bitsinv1  12956  bitsinvp1  12963  sadcaddlem  12971  sadadd2lem  12973  sadadd3  12975  sadaddlem  12980  sadasslem  12984  sadeq  12986  crt  13169  phimullem  13170  eulerthlem2  13173  eulerth  13174  ablfaclem3  15647  ablfac2  15649  iunmbl  19449  volsup  19452  dvfsumle  19907  dvfsumge  19908  dvfsumabs  19909  advlogexp  20548  dchrisumlem1  21185  dchrisumlem2  21186  dchrisum  21188  vdegp1ai  21708  vdegp1bi  21709  phisum  27497  hashfirdm  28167  cshwssizensame  28291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138
  Copyright terms: Public domain W3C validator