Theorem fzoptht 6502

Description: A finite set of sequential integers can represent an ordered pair.

Assertion

Ref	Expression
fzoptht	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) <-> (M = J /\ N = K)))

Proof of Theorem fzoptht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1535	. . . . . 6 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (M...N) <-> N e. (J...K)))
2		eluzfz2t 6489	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. (M...N))
3	1, 2	syl5bi 208	. . . . 5 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (ZZ>` M) -> N e. (J...K)))
4	3	anim1d 560	. . . 4 |- ((M...N) = (J...K) -> ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> (N e. (J...K) /\ K e. A)))
5		elfzuz2t 6486	. . . . 5 |- ((K e. A /\ N e. (J...K)) -> K e. (ZZ>` J))
6	5	ancoms 436	. . . 4 |- ((N e. (J...K) /\ K e. A) -> K e. (ZZ>` J))
7	4, 6	syl6com 53	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> K e. (ZZ>` J)))
8		eleq2 1535	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M...N) = (J...K) -> (J e. (M...N) <-> J e. (J...K)))
9		eluzfz1t 6487	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. (J...K))
10	8, 9	syl5bir 210	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> J e. (M...N)))
11		elfzle1 6483	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. (M...N) -> M <_ J)
12	10, 11	syl6com 53	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> M <_ J))
13	12	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> M <_ J))
14		eleq2 1535	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M...N) = (J...K) -> (M e. (M...N) <-> M e. (J...K)))
15		eluzfz1t 6487	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. (M...N))
16	14, 15	syl5bi 208	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (ZZ>` M) -> M e. (J...K)))
17		elfzle1 6483	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. (J...K) -> J <_ M)
18	16, 17	syl6com 53	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> J <_ M))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> J <_ M))
20	13, 19	jcad 600	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (M <_ J /\ J <_ M)))
21		letri3t 5517	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ J e. RR) -> (M = J <-> (M <_ J /\ J <_ M)))
22		eluzel2 6424	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
23		zret 6139	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. RR)
25		eluzel2 6424	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. ZZ)
26		zret 6139	. . . . . . . . . 10 |- (J e. ZZ -> J e. RR)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. RR)
28	21, 24, 27	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> (M = J <-> (M <_ J /\ J <_ M)))
29	20, 28	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> M = J))
30		elfzle2 6484	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (J...K) -> N <_ K)
31	3, 30	syl6com 53	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> N <_ K))
32		eleq2 1535	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (M...N) <-> K e. (J...K)))
33		eluzfz2t 6489	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. (J...K))
34	32, 33	syl5bir 210	. . . . . . . . . 10 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> K e. (M...N)))
35		elfzle2 6484	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (M...N) -> K <_ N)
36	34, 35	syl6com 53	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> K <_ N))
37	31, 36	anim12ii 559	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (N <_ K /\ K <_ N)))
38		letri3t 5517	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> (N = K <-> (N <_ K /\ K <_ N)))
39		eluzelz 6423	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
40		zret 6139	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
41	39, 40	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. RR)
42		eluzelz 6423	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. ZZ)
43		zret 6139	. . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
44	42, 43	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. RR)
45	38, 41, 44	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> (N = K <-> (N <_ K /\ K <_ N)))
46	37, 45	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> N = K))
47	29, 46	jcad 600	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K)))
48	47	ex 373	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K))))
49	48	com23 32	. . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> (M = J /\ N = K))))
50	49	adantr 389	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> (M = J /\ N = K))))
51	7, 50	mpdd 46	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K)))
52		opreq12 3970	. 2 |- ((M = J /\ N = K) -> (M...N) = (J...K))
53	51, 52	impbid1 517	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) <-> (M = J /\ N = K)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233   <_ cle 5295  ZZcz 5298  ZZ>cuz 6417  ...cfz 6467

This theorem is referenced by:  dffsum 6998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-z 6136  df-uz 6418  df-fz 6468

Copyright terms: Public domain