MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosplit Structured version   Unicode version

Theorem fzosplit 11171
Description: Split a half-open integer range in half. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosplit  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )

Proof of Theorem fzosplit
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( B..^ C ) )
2 elfzelz 11064 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ZZ )
32adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  D  e.  ZZ )
4 fzospliti 11170 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( B..^ C )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
51, 3, 4syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  -> 
( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
6 elun 3490 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) )  <->  ( x  e.  ( B..^ D )  \/  x  e.  ( D..^ C ) ) )
75, 6sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( B ... C )  /\  x  e.  ( B..^ C ) )  ->  x  e.  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C ) ) )
87ex 425 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
x  e.  ( B..^ C )  ->  x  e.  ( ( B..^ D
)  u.  ( D..^ C ) ) ) )
98ssrdv 3356 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  C_  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
10 elfzuz3 11061 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  D )
)
11 fzoss2 11168 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  D
)  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ D )  C_  ( B..^ C ) )
13 elfzuz 11060 . . . 4  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  D  e.  ( ZZ>= `  B )
)
14 fzoss1 11167 . . . 4  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( D..^ C )  C_  ( B..^ C ) )
1612, 15unssd 3525 . 2  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  (
( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) )  C_  ( B..^ C ) )
179, 16eqssd 3367 1  |-  ( D  e.  ( B ... C )  ->  ( B..^ C )  =  ( ( B..^ D )  u.  ( D..^ C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    u. cun 3320    C_ wss 3322   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140
This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  11191  fzosplitsn  11200  dchrisumlem1  21188  dchrisumlem2  21189  fzo0sn0fzo1  28147  fzosplitsnm1  28153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141
  Copyright terms: Public domain W3C validator