MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzosubel3 Unicode version

Theorem fzosubel3 10999
Description: Membership in a translated half-open integer range when the original range is zero-based. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzosubel3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ( 0..^ D ) )

Proof of Theorem fzosubel3
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( B..^ ( B  +  D ) ) )
2 elfzoel1 10962 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D )
)  ->  B  e.  ZZ )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
43zcnd 10207 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
54addid1d 9099 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
65oveq1d 5957 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( B  +  0 )..^ ( B  +  D ) )  =  ( B..^ ( B  +  D ) ) )
71, 6eleqtrrd 2435 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ( B  + 
0 )..^ ( B  +  D ) ) )
8 0z 10124 . . 3  |-  0  e.  ZZ
98a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  0  e.  ZZ )
10 simpr 447 . 2  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
11 fzosubel2 10998 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ( B  +  0 )..^ ( B  +  D
) )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  -  B
)  e.  ( 0..^ D ) )
127, 3, 9, 10, 11syl13anc 1184 1  |-  ( ( A  e.  ( B..^ ( B  +  D
) )  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B )  e.  ( 0..^ D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710  (class class class)co 5942   0cc0 8824    + caddc 8827    - cmin 9124   ZZcz 10113  ..^cfzo 10959
This theorem is referenced by:  ccatass  11526  ccatswrd  11549  revccat  11574  ccatco  11580  fargshiftfo  27744
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-nn 9834  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-fz 10872  df-fzo 10960
  Copyright terms: Public domain W3C validator