MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Structured version   Unicode version

Theorem fzoval 11146
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
2 oveq1 6091 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
31, 2oveqan12d 6103 . . 3  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( m ... (
n  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
4 df-fzo 11141 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
5 ovex 6109 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
63, 4, 5ovmpt2a 6207 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
7 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
87con3i 130 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 fzof 11142 . . . . . . 7  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
109fdmi 5599 . . . . . 6  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1110ndmov 6234 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
128, 11syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
13 simpl 445 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
1413con3i 130 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
15 fzf 11052 . . . . . . 7  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
1615fdmi 5599 . . . . . 6  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1716ndmov 6234 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1
) )  =  (/) )
1814, 17syl 16 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  (/) )
1912, 18eqtr4d 2473 . . 3  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2019adantr 453 . 2  |-  ( ( -.  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
216, 20pm2.61ian 767 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801    X. cxp 4879  (class class class)co 6084   1c1 8996    - cmin 9296   ZZcz 10287   ...cfz 11048  ..^cfzo 11140
This theorem is referenced by:  elfzo  11147  fzon  11163  fzoss1  11167  fzoss2  11168  fzval3  11185  fzo0to2pr  11189  fzo0to3tp  11190  fzo0to42pr  11191  fzoend  11192  fzofzp1b  11195  elfzom1b  11196  peano2fzor  11199  zmodfzo  11274  fzofi  11318  hashfzo  11699  revcl  11798  revlen  11799  revccat  11803  revrev  11804  revco  11808  fzosump1  12543  fsumtscopo  12586  fsumparts  12590  geoser  12651  geo2sum2  12656  dfphi2  13168  gsumwsubmcl  14789  gsumccat  14792  gsumwmhm  14795  efgsdmi  15369  efgs1b  15373  efgredlemf  15378  efgredlemd  15381  efgredlemc  15382  efgredlem  15384  advlogexp  20551  dchrisumlem1  21188  wlkntrllem2  21565  redwlk  21611  constr3pthlem1  21647  constr3pthlem3  21649  stirlinglem12  27823  reumodprminv  28260  cshweqrep  28307  wlkiswwlk2lem3  28374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-neg 9299  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141
  Copyright terms: Public domain W3C validator