MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzoval Unicode version

Theorem fzoval 10876
Description: Value of the half-open integer set in terms of the closed integer set. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzoval  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )

Proof of Theorem fzoval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 19 . . . 4  |-  ( m  =  M  ->  m  =  M )
2 oveq1 5865 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
31, 2oveqan12d 5877 . . 3  |-  ( ( m  =  M  /\  n  =  N )  ->  ( m ... (
n  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
4 df-fzo 10871 . . 3  |- ..^  =  ( m  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( m ... ( n  - 
1 ) ) )
5 ovex 5883 . . 3  |-  ( M ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
63, 4, 5ovmpt2a 5978 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
7 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
87con3i 127 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )
9 fzof 10872 . . . . . . 7  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
109fdmi 5394 . . . . . 6  |-  dom ..^  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1110ndmov 6004 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  (/) )
128, 11syl 15 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
13 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
1413con3i 127 . . . . 5  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ ) )
15 fzf 10786 . . . . . . 7  |-  ... :
( ZZ  X.  ZZ )
--> ~P ZZ
1615fdmi 5394 . . . . . 6  |-  dom  ...  =  ( ZZ  X.  ZZ )
1716ndmov 6004 . . . . 5  |-  ( -.  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M ... ( N  -  1
) )  =  (/) )
1814, 17syl 15 . . . 4  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  =  (/) )
1912, 18eqtr4d 2318 . . 3  |-  ( -.  M  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
2019adantr 451 . 2  |-  ( ( -.  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M..^ N
)  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
216, 20pm2.61ian 765 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687  (class class class)co 5858   1c1 8738    - cmin 9037   ZZcz 10024   ...cfz 10782  ..^cfzo 10870
This theorem is referenced by:  elfzo  10877  fzoss1  10896  fzoss2  10897  fzval3  10911  fzoend  10914  fzofzp1b  10917  elfzom1b  10918  peano2fzor  10919  zmodfzo  10992  fzofi  11036  hashfzo  11383  revcl  11479  revlen  11480  revccat  11484  revrev  11485  revco  11489  fzosump1  12217  fsumtscopo  12260  fsumparts  12264  geoser  12325  geo2sum2  12330  dfphi2  12842  gsumwsubmcl  14461  gsumccat  14464  gsumwmhm  14467  efgsdmi  15041  efgs1b  15045  efgredlemf  15050  efgredlemd  15053  efgredlemc  15054  efgredlem  15056  advlogexp  20002  dchrisumlem1  20638  stirlinglem12  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871
  Copyright terms: Public domain W3C validator