MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzp1disj Structured version   Unicode version

Theorem fzp1disj 11105
Description:  ( M ... ( N  +  1 ) ) is the disjoint union of  ( M ... N ) with  { ( N  +  1 ) }. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
fzp1disj  |-  ( ( M ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)

Proof of Theorem fzp1disj
StepHypRef Expression
1 elfzle2 11061 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( N  +  1 )  <_  N )
2 elfzel2 11057 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  ZZ )
32zred 10375 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  N  e.  RR )
4 ltp1 9848 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
5 peano2re 9239 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
6 ltnle 9155 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  RR )  ->  ( N  < 
( N  +  1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
75, 6mpdan 650 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  <  ( N  + 
1 )  <->  -.  ( N  +  1 )  <_  N ) )
84, 7mpbid 202 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
93, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  -.  ( N  +  1
)  <_  N )
101, 9pm2.65i 167 . 2  |-  -.  ( N  +  1 )  e.  ( M ... N )
11 disjsn 3868 . 2  |-  ( ( ( M ... N
)  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)  <->  -.  ( N  +  1
)  e.  ( M ... N ) )
1210, 11mpbir 201 1  |-  ( ( M ... N )  i^i  { ( N  +  1 ) } )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  fseq1p1m1  11122  fzennn  11307  gsumzaddlem  15526  imasdsf1olem  18403  eupap1  21698  esumfzf  24459  subfacp1lem6  24871  mapfzcons  26772  mapfzcons1  26773  mapfzcons2  26775
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator