MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzprval Structured version   Unicode version

Theorem fzprval 11098
Description: Two ways of defining the first two values of a sequence on 
NN. (Contributed by NM, 5-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fzprval  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem fzprval
StepHypRef Expression
1 1z 10303 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
2 fzpr 11093 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) } )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( 1 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
4 df-2 10050 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
54oveq2i 6084 . . . 4  |-  ( 1 ... 2 )  =  ( 1 ... (
1  +  1 ) )
64preq2i 3879 . . . 4  |-  { 1 ,  2 }  =  { 1 ,  ( 1  +  1 ) }
73, 5, 63eqtr4i 2465 . . 3  |-  ( 1 ... 2 )  =  { 1 ,  2 }
87raleqi 2900 . 2  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B
) )
9 1ex 9078 . . 3  |-  1  e.  _V
10 2re 10061 . . . 4  |-  2  e.  RR
1110elexi 2957 . . 3  |-  2  e.  _V
12 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
13 iftrue 3737 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  A )
1412, 13eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  1
)  =  A ) )
15 fveq2 5720 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
2 ) )
16 1ne2 10179 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  2
1716necomi 2680 . . . . . . 7  |-  2  =/=  1
18 pm13.181 2671 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  2  /\  2  =/=  1 )  ->  x  =/=  1
)
1917, 18mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  x  =/=  1 )
2019neneqd 2614 . . . . 5  |-  ( x  =  2  ->  -.  x  =  1 )
21 iffalse 3738 . . . . 5  |-  ( -.  x  =  1  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B
)  =  B )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( x  =  2  ->  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  =  B )
2315, 22eqeq12d 2449 . . 3  |-  ( x  =  2  ->  (
( F `  x
)  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <-> 
( F `  2
)  =  B ) )
249, 11, 14, 23ralpr 3853 . 2  |-  ( A. x  e.  { 1 ,  2 }  ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
258, 24bitri 241 1  |-  ( A. x  e.  ( 1 ... 2 ) ( F `  x )  =  if ( x  =  1 ,  A ,  B )  <->  ( ( F `  1 )  =  A  /\  ( F `  2 )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   ifcif 3731   {cpr 3807   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985   2c2 10041   ZZcz 10274   ...cfz 11035
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036
  Copyright terms: Public domain W3C validator