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Theorem fzrevral 10866
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K    j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )
2 elfzelz 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M
) )  ->  k  e.  ZZ )
3 fzrev 10846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) )  <->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) ) )
43anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) )  <->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) ) )
52, 4sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  (
k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) )  <->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) ) )
61, 5mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  ( K  -  k )  e.  ( M ... N
) )
7 rspsbc 3069 . . . . . . 7  |-  ( ( K  -  k )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  [. ( K  -  k )  /  j ]. ph ) )
86, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  [. ( K  -  k )  /  j ]. ph ) )
98ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
)  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) ) )
1093impa 1146 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) )  -> 
( A. j  e.  ( M ... N
) ph  ->  [. ( K  -  k )  /  j ]. ph )
) )
1110com23 72 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  ( k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) )  ->  [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) ) )
1211ralrimdv 2632 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  ->  A. k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) )
13 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ j  K  e.  ZZ
14 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ j
( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
)
15 nfsbc1v 3010 . . . . 5  |-  F/ j
[. ( K  -  k )  /  j ]. ph
1614, 15nfral 2596 . . . 4  |-  F/ j A. k  e.  ( ( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph
17 fzrev2i 10848 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  j
)  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) ) )
18 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( K  -  j )  ->  ( K  -  k )  =  ( K  -  ( K  -  j
) ) )
19 dfsbcq 2993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  k )  =  ( K  -  ( K  -  j
) )  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph  <->  [. ( K  -  ( K  -  j )
)  /  j ]. ph ) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( K  -  j )  ->  ( [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph  <->  [. ( K  -  ( K  -  j )
)  /  j ]. ph ) )
2120rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  -  j )  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M
) )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  [. ( K  -  ( K  -  j
) )  /  j ]. ph ) )
2217, 21syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) [. ( K  -  k )  /  j ]. ph  ->  [. ( K  -  ( K  -  j ) )  / 
j ]. ph ) )
23 zcn 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
24 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  ZZ )
2524zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  j  e.  CC )
26 nncan 9076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  j  e.  CC )  ->  ( K  -  ( K  -  j )
)  =  j )
2723, 25, 26syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( K  -  ( K  -  j )
)  =  j )
2827eqcomd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
j  =  ( K  -  ( K  -  j ) ) )
29 sbceq1a 3001 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( K  -  ( K  -  j
) )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( K  -  ( K  -  j
) )  /  j ]. ph ) )
3028, 29syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ph  <->  [. ( K  -  ( K  -  j
) )  /  j ]. ph ) )
3122, 30sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  j  e.  ( M ... N ) )  -> 
( A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) [. ( K  -  k )  /  j ]. ph  ->  ph ) )
3231ex 423 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
j  e.  ( M ... N )  -> 
( A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M )
) [. ( K  -  k )  /  j ]. ph  ->  ph ) ) )
3332com23 72 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  ( j  e.  ( M ... N )  ->  ph ) ) )
3413, 16, 33ralrimd 2631 . . 3  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  A. j  e.  ( M ... N )
ph ) )
35343ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  N
) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph 
->  A. j  e.  ( M ... N )
ph ) )
3612, 35impbid 183 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  N ) ... ( K  -  M ) ) [. ( K  -  k
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   [.wsbc 2991  (class class class)co 5858   CCcc 8735    - cmin 9037   ZZcz 10024   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  fzrevral2  10867  fzrevral3  10868  fzshftral  10869
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
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