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Theorem fzshftral 11066
Description: Shift the scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzshftral  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Distinct variable groups:    j, k, K    j, M, k    j, N, k    ph, k
Allowed substitution hint:    ph( j)

Proof of Theorem fzshftral
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10227 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
2 fzrevral 11063 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
31, 2mp3an3 1268 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N
) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
433adant3 977 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
5 zsubcl 10253 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  N
)  e.  ZZ )
61, 5mpan 652 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  -  N )  e.  ZZ )
7 zsubcl 10253 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  -  M
)  e.  ZZ )
81, 7mpan 652 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  -  M )  e.  ZZ )
9 id 20 . . . 4  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  ZZ )
10 fzrevral 11063 . . . 4  |-  ( ( ( 0  -  N
)  e.  ZZ  /\  ( 0  -  M
)  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  ( ( 0  -  N ) ... (
0  -  M ) ) [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M
) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) ) [. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  / 
j ]. ph ) )
116, 8, 9, 10syl3an 1226 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
12113com12 1157 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. x  e.  (
( 0  -  N
) ... ( 0  -  M ) ) [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph ) )
13 ovex 6047 . . . . 5  |-  ( K  -  k )  e. 
_V
14 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( 0  -  x )  e. 
_V
1514ax-gen 1552 . . . . 5  |-  A. x
( 0  -  x
)  e.  _V
16 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( K  -  k )  ->  (
0  -  x )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) ) )
1716sbcco3gOLD 3251 . . . . 5  |-  ( ( ( K  -  k
)  e.  _V  /\  A. x ( 0  -  x )  e.  _V )  ->  ( [. ( K  -  k )  /  x ]. [. (
0  -  x )  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k ) )  / 
j ]. ph ) )
1813, 15, 17mp2an 654 . . . 4  |-  ( [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph )
1918ralbii 2675 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( K  -  k
)  /  x ]. [. ( 0  -  x
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( K  -  ( 0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N
) ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph )
20 zcn 10221 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
21 zcn 10221 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
22 zcn 10221 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
23 df-neg 9228 . . . . . . . . . . 11  |-  -u M  =  ( 0  -  M )
2423oveq2i 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  -u M )  =  ( K  -  (
0  -  M ) )
25 subneg 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( K  +  M ) )
26 addcom 9186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  +  M
)  =  ( M  +  K ) )
2725, 26eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  -u M
)  =  ( M  +  K ) )
2824, 27syl5eqr 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
29283adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  M ) )  =  ( M  +  K ) )
30 df-neg 9228 . . . . . . . . . . 11  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
3130oveq2i 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  -u N )  =  ( K  -  (
0  -  N ) )
32 subneg 9284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( K  +  N ) )
33 addcom 9186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  +  N
)  =  ( N  +  K ) )
3432, 33eqtrd 2421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  -u N
)  =  ( N  +  K ) )
3531, 34syl5eqr 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  (
0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
36353adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( K  -  ( 0  -  N ) )  =  ( N  +  K ) )
3729, 36oveq12d 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CC  /\  M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
38373coml 1160 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
3920, 21, 22, 38syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )  =  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )
4039raleqdv 2855 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph ) )
41 elfzelz 10993 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  ZZ )
4241zcnd 10310 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) )  ->  k  e.  CC )
43 df-neg 9228 . . . . . . . . 9  |-  -u ( K  -  k )  =  ( 0  -  ( K  -  k
) )
44 negsubdi2 9294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  -> 
-u ( K  -  k )  =  ( k  -  K ) )
4543, 44syl5eqr 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
4622, 42, 45syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( 0  -  ( K  -  k )
)  =  ( k  -  K ) )
47 dfsbcq 3108 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  -  ( K  -  k ) )  =  ( k  -  K )  ->  ( [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K
) ) )  -> 
( [. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  [. ( k  -  K )  /  j ]. ph ) )
4948ralbidva 2667 . . . . 5  |-  ( K  e.  ZZ  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
50493ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( 0  -  ( K  -  k )
)  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
5140, 50bitrd 245 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( 0  -  ( K  -  k
) )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
5219, 51syl5bb 249 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. k  e.  (
( K  -  (
0  -  M ) ) ... ( K  -  ( 0  -  N ) ) )
[. ( K  -  k )  /  x ]. [. ( 0  -  x )  /  j ]. ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K
) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
534, 12, 523bitrd 271 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A. j  e.  ( M ... N ) ph  <->  A. k  e.  ( ( M  +  K ) ... ( N  +  K ) ) [. ( k  -  K
)  /  j ]. ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   _Vcvv 2901   [.wsbc 3106  (class class class)co 6022   CCcc 8923   0cc0 8925    + caddc 8928    - cmin 9225   -ucneg 9226   ZZcz 10216   ...cfz 10977
This theorem is referenced by:  fprodser  25056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978
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